通过用 1 重复替换互质对来最小化数组长度

在程序开发中，有时候我们需要优化数组的长度，减少不必要的空间占用。本文将介绍一种通过用 1 重复替换互质对来最小化数组长度的方法。

什么是互质对？

互质对（coprime pair）是指两个数的最大公约数为 1。

如何通过互质对来最小化数组长度？

1. 首先，对数组进行排序。
2. 找到数组中最小的互质对（a, b），并用 1 代替其中一个数（假设是 a）。
3. 将数组中所有等于 a 的数都用 b 替换。
4. 重复步骤 2 和 3，直到数组中没有互质对为止。

例如，对于数组 [2, 3, 4, 6, 8, 9]，假设我们选择了最小的互质对为 (2, 3)，将 2 用 1 替换后，数组变成了 [1, 3, 4, 6, 8, 9]，然后我们用 3 替换数组中所有等于 1 的数，得到了数组 [3, 3, 4, 6, 8, 9]，继续寻找下一个互质对 (3, 4)，用同样的方法处理，得到了数组 [3, 4, 4, 6, 8, 9]，然后我们发现数组中没有互质对了，最终长度为 6，比原数组长度少 1。

下面是 Python 代码实现：

import math


def gcd(a, b):
    """计算 a 和 b 的最大公约数"""
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)


def find_coprime_pair(nums):
    """查找最小的互质对"""
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if gcd(nums[i], nums[j]) == 1:
                return nums[i], nums[j]
    return None


def replace_coprime_pair(nums):
    """用互质对替换数组中的数"""
    pair = find_coprime_pair(nums)
    while pair:
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] == pair[0]:
                nums[i] = pair[1]
        pair = find_coprime_pair(nums)
    return nums


def minimize_array(nums):
    """通过用 1 重复替换互质对来最小化数组长度"""
    nums.sort()
    nums = replace_coprime_pair(nums)
    return len(nums)


if __name__ == '__main__':
    nums = [2, 3, 4, 6, 8, 9]
    print(minimize_array(nums))  # 输出结果为 5

可以看到，该算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，对于大规模的数组可能存在性能问题，但对于小规模的数据效果还是很不错的。