最小化数组长度：通过用 1 重复替换互质对

假设我们有一个数学数组 $A$ 和一对互质的整数 $x$ 和 $y$。我们的目标是通过用 1 重复替换数组 $A$ 中的互质对，最小化数组长度。

对于任意一个 $a \in A$，我们可以用 $x$ 和 $y$ 的线性组合 $ax + by$ 来表示。我们可以用贪心策略来尝试将数组中的所有元素表示成 $ax + by$ 的形式。

我们从 1 开始，一次尝试将相邻的元素合并为一个元素。假设当前我们尝试将相邻的 $a_1$ 和 $a_2$ 合并为一个元素，如果我们可以通过 $x$ 和 $y$ 的线性组合表示 $a_1$ 和 $a_2$ 的最大公因数，那么就可以将它们替换为这个最大公因数，否则我们需要跳过这个元素，继续处理下一个元素。

我们重复这个过程，直到我们不能再通过用 $x$ 和 $y$ 的线性组合表示数组中的任何元素。此时，数组中的所有元素都可以表示为 $ax + by$ 的形式，数组的长度也达到了最小值。

下面是使用 Python 语言实现这个算法的代码：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def minimize_array_length(A, x, y):
    while True:
        i = 0
        while i < len(A) - 1:
            if gcd(A[i], A[i + 1]) % gcd(x, y) == 0:
                A[i:i + 2] = [gcd(A[i], A[i + 1])]
            else:
                i += 1
        if len(A) == 1:
            break
    return A

该函数的输入为数组 $A$，以及互质的整数 $x$ 和 $y$，输出的是通过用 1 重复替换互质对来最小化数组长度后的数组 $A$。

以下是一个使用示例：

>>> A = [7, 21, 49, 14, 28, 56]
>>> x = 2
>>> y = 3
>>> minimize_array_length(A, x, y)
[7]

在该示例中，我们将数组 $A$ 中的所有元素都表示为 $2x + 3y$ 的形式，然后我们再用 1 重复替换相邻的元素，直到无法再进行替换为止，最后得到的数组的长度为 1，也就是数组中的所有元素都可以表示为 $2x + 3y$ 的形式，且不能再通过用 1 进行替换来减少数组长度。