什么是算术级数？

算术可能在当时拥有最长的历史。它是一种计算方法，自古以来就用于常规计算，如测量、标记和各种日常计算，以获得确定的值。该术语起源于希腊语“arithmos”，它的意思是数字。

Arithmetic is the elementary branch of mathematics that specifically deals with the study of numbers and properties of traditional operations like addition, subtraction, multiplication, and division.

除了传统的加法、减法、乘法和除法运算外，还包括百分比、对数、指数和平方根等高级计算。算术是数学的一个分支，涉及数字及其传统运算。

算术的基本运算

算术有四个基本操作，用于根据语句执行计算：

• 添加
• 减法
• 乘法
• 分配

算术级数 (AP)是一个数字序列，其中任意两个连续数字之间的差值是一个常数值。例如，一系列数字：1, 2, 3, 4, 5, 6,... 属于算术级数，两个连续项（例如 1 和 2）之间的公差 (d) 等于 1 (2 – 1）。

在两个连续项之间可以看到一个共同的区别，即奇数和偶数的偶数，即 2 等于。在 AP 中，三个主要项是 Common Difference (d)、nth Term (an _n )、前 n 项的 Sum (S _n )，这三个项都表示 AP 的属性。下面我们来详细看看有哪些共同点，

In other words, arithmetic progression can be defined as “A mathematical sequence in which the difference between two consecutive terms is always a constant“.

我们在 AP 中遇到了不同的词，如序列、系列和进展，现在让我们看看每个词的定义 -

序列是遵循特定模式的有限或无限数字列表。例如 0, 1, 2, 3, 4, 5... 是序列，它是一个无限的整数序列。

序列是序列对应的元素的总和。例如 1 + 2 + 3 + 4 + 5…。是自然数序列。序列或系列中的每个数字称为一个术语。这里1是一个词，2是一个词，3是一个词……。

级数是可以使用数学公式来表达一般术语的序列，或者是使用可以定义为级数的数学公式的序列。

General form of arithmetic progression is  a, a + d, a + 2d ……… a + (n – 1)d

以下是 AP 的一些示例：

• 6, 13, 20, 27, 34,41, . . . .
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,. . . .
• π, 2π, 3π, 4π, 5π,6π,…
• -√3, -2√3, -3√3, -4√3, -5√3, – 6√3,…..

AP的共同点

共同差在等差数列中用 d 表示。这是下一个学期和上一个学期之间的区别。对于算术级数，它总是恒定的或相同的。总之，如果公差在某个序列中是恒定的，我们可以说这是AP，如果序列是a _1, a ₂ , a ₃ , a ₄等等。

换言之，等差数列的共同差用d表示。后一项与其前一项之间的差值。对于算术级数，它始终是恒定的或相同的。换句话说，我们可以说，在给定的序列中，如果共同差是恒定的或相同的，那么我们可以说给定的序列是算术级数（AP）。

The formula to find common difference is d = (a_{n + 1} – a_n) or d = (a_n – a_n-1).

If the common difference is positive, then AP increases. For Example 4, 8, 12, 16….. in these series, AP increases

If the common difference is negative then AP decreases. For Example -4, -6, -8……., here AP decreases.

If the common difference is zero then AP will be constant. For Example 1, 2, 3, 4, 5………, here AP is constant.

The sequence of Arithmetic Progression will be like a₁, a₂, a₃, a₄,…

                      common difference (d) = a₂ – a₁ = d

                                                             a₃ – a₂ = d

                                                            a₄ – a₃ = d and so on.

用于解释算术级数属性的其他重要术语是，

AP第一学期

算术级数可以用共同差 (d) 表示为：

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ………., a + (n – 1)d

where,  

a = first term of AP

AP的第n期

The nth term can be found by using the formula mentioned below:

a_n = a + (n − 1)d

Where,  

a = First term of AP

d = Common difference

n = number of terms

a_n = nth term

注意：序列的行为基于共享差异的值。

如果“d”为正，则项将增加到正无穷大。

如果“d”为负数，则成员项增加到负无穷大

n 项之和

AP总和的公式解释如下，考虑一个由“n”项组成的AP。

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

给定第一个和最后一个学期时的 AP 总和

S  = n/2 (first term of AP + last term of AP)

简而言之，算术级数 (AP) 是一个数字序列，其中任意两个连续数字之间的差值都是一个常数值。例如，数字系列：1、2、3、4、5、6、...

a, a + d, a + 2d, a + 3d ………. 

the nth term                           a_n  = a + (n – 1) d

and sum of first nth terms = S_n  = n/2[2a + (n – 1) d]

                                                      = n/2[a + a_n]

示例问题

问题1：如果第一项是15并且共同差是4，则找到AP。

解决方案：

As we know,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Here, a = 15 and d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …and so on.

so the AP is 15, 19, 23, 27, 31………..

问题 2：求给定 AP 的第 20 项：3, 5, 7, 9, ...

解决方案：

Given, 3, 5, 7, 9, 11……

here,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a_n = a + (n − 1)d

a₂₀ = 3 + (20− 1)2

a₂₀ = 3 + 38

a₂₀ = 41

here 20th term is a₂₀ = 41