算术级数和几何级数

英文中的“sequence”一词是指一些数字或对象的集合，它具有第一个成员，第二个成员，依此类推。例如，序列可以是任何东西。 - 一月二月， …。是一年中月份的序列。序列每天都在人们的现实生活中使用。一周中的几天也可以被视为一个序列。因此，研究序列并在其中找到模式变得至关重要，这样我们就可以预测序列的下一项并从中提取信息。

序列

让我们考虑一个序列：2,4,6,8 等等。其中出现的各种数称为其项。它们由 a ₁ 、 a ₂ 、 a ₃ ... a _{n 表示。}下标表示第 n 项。数列的第 n 项也称为数列的一般项，因为我们可以通过放置不同的 n 值从中推导出其他所有项。在这种情况下，

a ₁ = 2、a ₂ = 4、a ₃ = 6 等等……

具有有限项的序列称为有限序列，类似地，具有无限项的序列称为无限序列。

A sequence can be regarded as a function whose domain is the set of natural numbers or some subset of it. Sometimes, we use the functional notation a(n) for a_n.

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系列

对于给定的序列 a ₁ , a ₂ , a ₃ ... a _n 。下面给出的表达式称为系列。一个序列可以是无限的或有限的，这取决于它的序列具有的项数。 ∑ 是用于表示系列的常用符号。这表明所涉及的总和。

$\Sigma^{n}_{i = 1}a_{i}$ = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… a _n

这些概念产生了称为算术级数和几何级数的序列。

算术级数（AP）

考虑一个序列 1, 3, 5, 7, ..... 请注意，在这个序列中，连续项之间的差是恒定的。这意味着在每个步骤中，都会将一个常数值添加到该序列的每个项中。如果 a _n+1 = a _n + d 其中 n 是任意自然数，则序列 a ₁ 、a ₂ 、a ₃ ... a _n可以称为算术级数。在这样的级数中，a ₁称为第一项，常数项 d 称为 AP 的公差所以，AP 看起来像，

a、a + d、a + 2d、a + 3d ..... 等等。

AP的第n个可以定义为，

a _n = a ₁ + (n-1)d

AP的n项之和由下式给出，

S _n = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

要么

S _n = $\frac{n}{2}[a + l]$

几何级数（GP）

考虑以下序列，2, 4, 8, 16 ..... 这里很清楚，在这个序列中每个项都乘以 2。这种连续项乘以常数的序列称为几何级数。以更一般的方式，如果 a _n+1 = a _n ，则序列 a ₁ 、a ₂ 、a ₃ ... a _n可以称为几何级数。 r 其中 n 是任意自然数。在这样的级数中，a ₁称为第一项，常数项 r 称为 GP 的公比所以，GP 看起来像，

a, ar, ar ² , ar ⁿ ..... 等等。

GP的第n个可以定义为，

a _n = a ₁ r ^n-1

一般来说，GP 可以是有限和无限的，但在无限 GP 的情况下，公比必须在 0 和 1 之间，否则 GP 的值会上升到无穷大。 GP总和包括两种情况：

让我们表示 S _n是 a + ar + ar ² + ..... ar ⁿ

情况 1：如果 r = 1，则序列折叠为

一个，一个，一个，一个……等等。

S _n = 无

情况 2：如果 r≠1，则序列保持不变，

a + ar + ar ² + ..... ar ⁿ

S _n = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

让我们看一些与这些概念相关的单词问题

示例问题

问题 1：一只比特币股票起价为 5 美元。之后，它每天上涨 2 美元。找出第 16 天结束时的股票价格。

回答：

In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.

5, 7, 9, … and so on.

Using the formula for nth term of AP.

a_n = a₁ + (n-1)d

Here a₁denotes the first term and d denotes the common difference. In this case ,

a₁ = 5, d = 2 and n = 16

a₁₀ = a₁ + (16-1)d

⇒ a₁₀ = 5 + (15)2

⇒ a₁₀ = 5 + 30

⇒ a₁₀ = 35

Thus, the stock prices are at $35.

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问题 2：一个人在儿子出生时种了 3 棵树。之后，在随后的生日，他每年又种了 5 棵树。求他儿子 10 岁时他后院的树的数量。

回答：

In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.

3, 8, 13, … and so on.

Using the formula for nth term of AP.

a_n = a₁ + (n-1)d

Here a₁denotes the first term and d denotes the common difference. In this case,

a₁ = 3, d = 5 and n = 10

a₁₀ = a₁ + (10-1)d

⇒ a₁₀ = a₁ + (9)d

⇒ a₁₀ = 3 + 9(5)

⇒ a₁₀ = 3 + 45

⇒ a₁₀= 48

Thus, there are 48 trees in his backyard now.

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问题3：英国摇滚乐队the1975在夏天发行了一张新专辑，一天之内就卖出了10万张。现在这张专辑在排行榜上名列前茅，每天他们的销量比前一天多 20,000 张。找出一周内的专辑总销量。

回答：

In the above question, each time a constant number is added to the previous term to make a new term. This is an AP.

100,000; 120,000; 140,000; … and so on.

Goal is to calculate the sum of the sequence at the end of 10th day.

Using the formula for sum till nth term of AP.

S_n = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

Here adenotes the first term and d denotes the common difference. In this case,

a = 100,000, d = 20,000 and n = 7

S_n = $\frac{n}{2}[a + (n-1)d]$

⇒S₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (7-1)(20000)]$

⇒S₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (6)(20000)]$

⇒S₇ = $\frac{7}{2}[100000 + (120000)]$

⇒S₇ = $\frac{7}{2}[220000]$

⇒S₇= $7(110000)$

⇒S₇ = 770000

Thus, the total album sale is 770,000.

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问题 4：科比特国家公园的鹿数量正在增加。 2015年是1000，此后一直在增加，每年2倍。求 2021 年的人口。

解决方案。

Here, every year the population becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.

1000, 2000 … and so on.

Here a = 1000 and r= 2

Using the formula for nth term of the GP

a_n = a₁r^n-1

In 2021, n = 7. Plugging in the values in the formula

a_n = a₁r^n-1

⇒a_n = (1000)(2)^(7-1)

⇒a_n = (1000)(2)⁶

⇒a_n = (1000)(64)

⇒a_n = 64000

There must be 64,000 deer in Corbett National Park now.

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问题5：一个人有2个父母，4个祖父母，8个曾祖父母，等等。求这个家族最近 10 代的祖先数量。

解决方案。

Here, every year the number becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.

2,4 … and so on.

Here a = 2 and r= 2

Using the formula for nth term of the GP

a_n = a₁r^n-1

In 2021, n = 10. Plugging in the values in the formula

a_n = a₁r^n-1

⇒a_n = (2)(2)^(10-1)

⇒a_n = (2)(2)⁹

⇒a_n = (2)¹⁰

⇒a_n = 64000

There must be 64,000 deer in Corbett National Park now.

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问题 6：在 4 到 256 之间插入两个数字，这样得到的序列就变成了 GP。

回答：

Let’s say those two numbers are x and y. The resulting sequence then becomes,

4, x, y, 256

This sequence has four terms and is a GP. Here,

a = 4 and r = ?

Formula for nth term of GP is

a_n = a₁r^n-1

4th term is 256,

256 = 4r^{(4 – 1)}

64 = r³

This means that, r = 4

Thus,

x = ar

⇒ x = (4)(4)

⇒ x= 16

y = ar²

⇒ y = 4(4)²

⇒ y = 64

So, the two numbers to be inserted are 16 and 64

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问题 7：一个盘子里的细菌数是 100，它们每小时都比原来的值增加一倍。 6 小时后找出培养皿中的细菌数量。

回答：

Here, every year the number becomes 2 times. A constant number is being multiplied to the previous term to get the new term. This is a geometric progression.

100,200, 400 … and so on.

Here a = 100 and r= 2

Using the formula for sum till nth term of the GP

S_n = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

n = 6. Plugging in the values in the formula

S_n = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

⇒S_n = $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

⇒ S₆ = $\frac{100(1 - 2^6)}{1 - 2}$

⇒ S₆ = $\frac{100(2^6 - 1)}{2 - 1}$

⇒ S₆ = $\frac{100(64 - 1)}{2 - 1}$

⇒ S₆ = 6300

There must be 63,00 bacteria in the dish now.

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