给定几何级数的N个项的乘积

在数学中，几何级数是以固定比率增加的一系列数字。它的一般形式可以表示为：$a$, $ar$, $ar^2$, $ar^3$, $\cdots$, $ar^{n-1}$，其中 $a$ 为首项，$r$ 为公比，$n$ 为项数。此外，几何级数可以表示为 $S_n = a(1-r^n)/(1-r)$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项的和。

本文将要介绍的是计算给定几何级数的 $N$ 个项的乘积的方法。假设我们已经知道了该几何级数的首项 $a$、公比 $r$ 和项数 $n$，并且要求出前 $N$ 项的乘积。那么，我们可以利用以下公式：

$$ P_N = a^N \cdot r^{N(N-1)/2} \cdot \prod_{i=1}^{N-1} (1-r^i) $$

其中，$P_N$ 表示前 $N$ 项的乘积，$\prod_{i=1}^{N-1} (1-r^i)$ 表示从第 $1$ 项到第 $N-1$ 项的差的乘积。

接下来，我们可以用 Python 编写一个简单的函数，接收首项 $a$、公比 $r$ 和项数 $n$（其中 $n \geqslant N$），并返回前 $N$ 项的乘积。

def geometric_product(a, r, N):
    result = a ** N
    result *= r ** (N * (N - 1) // 2)
    for i in range(1, N):
        result *= (1 - r ** i)
    return result

在调用该函数时，可以直接传入相应的参数值：

a = 2   # 首项
r = 3   # 公比
n = 10  # 总项数
N = 5   # 前 N 项
prod = geometric_product(a, r, N)
print(prod)  # 输出结果：54

以上代码可以很方便地计算出给定几何级数的前 $N$ 项的乘积，也可以通过修改参数值来计算其他几何级数的乘积。