给定递归关系的第N个项，每个项等于前K个项的乘积

在数学中，我们经常需要求解某个递归式的第 $n$ 项。如果递归式可以使用当前的 $k$ 项（$k<n$）来直接计算，则可以方便地计算出第 $n$ 项。本文将介绍一种求解给定递归关系的第 $n$ 个项，每个项等于前 $k$ 个项的乘积的方法。

递归关系

设 $a_n$ 表示递归关系的第 $n$ 项，且每项等于前 $k$ 个项的乘积。可以写成如下的式子：

$$a_n = a_{n-1} \times a_{n-2} \times \cdots \times a_{n-k} $$

其中 $k$ 是一个固定的整数。

当 $n \leq k$ 时，没有足够的项来计算 $a_n$，需给定初始值。

实现思路

为了计算 $a_n$，我们可以使用一个数组 $f$ 存储前 $k$ 个项的值。初始时，$f[i] = a_i$。之后，每当需要计算 $a_n$，就递推更新 $f$ 数组的值，最后的答案就是 $f[k]$。

实现细节：数组 $f$ 需要从下标 $1$ 开始存储，因此初始值需要存储在 $f$ 数组的后 $k$ 个位置。

下面是这个算法的代码实现：

def solve(n: int, k: int, init_values: List[int]) -> int:
    # 初始化
    f = [1] * (k + 1)
    for i in range(1, k+1):
        if i <= len(init_values):
            f[i] = init_values[i-1]
    # 递推计算f[k]
    for i in range(k+1, n+1):
        f[i%(k+1)] = 1
        for j in range(1, k+1):
            f[i%(k+1)] *= f[(i-j)%(k+1)]
    return f[n%(k+1)]

性能分析

由于每项需要计算前 $k$ 个项的乘积，因此时间复杂度为 $O(kn)$。空间复杂度为 $O(k)$。

应用场景

此算法可以用于求解许多递归问题，例如 Fibonacci 数列、常系数线性递推等。在这些问题中，每个项都可以用前 $k$ 个项的乘积来计算，因此此算法可以方便地求解。