形成算术级数的子数组数

算术级数(AP)是一种常见的数学模型，它的每一项等于前一项加上一个固定差值。在程序中，我们需要统计一个数组中有多少个子数组能够形成一个算术级数。

解法

假设 dp[i][j] 表示以元素 i 结尾、公差为 j 的子数组数量。则有递推公式：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1    # nums[i] - nums[i-1] = j

其中，初始值是 dp[0][j] = 0 (表示以元素0结尾、公差为j的子数组数量为0)，最后答案是所有 dp[i][j] 的和。

具体实现可以使用一个哈希表存储每个公差的数量，以减少空间复杂度。

Python 代码如下：

from typing import List

def numberOfArithmeticSlices(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    ans = 0
    dp = [{} for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i):    
            d = nums[i] - nums[j]
            cnt = dp[j].get(d, 0)
            dp[i][d] = dp[i].get(d, 0) + cnt + 1
            ans += cnt
    return ans

时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(n^2)$。

参考链接

• LeetCode 题解