算术级数简介| 10级数学

级数是按特定顺序排列的序列或数字序列，以使序列或序列的连续项之间的关系始终恒定。逐步地，可以获得级数的_第n个项。

在数学中，有3种类型的级数：

1. 算术级数(AP)
2. 几何级数(GP)
3. 谐波级数(HP)

算术级数(AP)也称为算术序列，它是数字的序列或序列，以使序列中两个连续数字之间的公共差是恒定的。

例如：

系列1：1、3、5、7、9、11…。

在本系列中，任何两个连续数字之间的共同差异始终为2。

系列2：28,25,22,19,16,13…。

在这个系列中，任何两个连续数字之间的共同区别严格是-3。

术语和表示

• 共同差d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ =……。 = a _n – a _{n – 1}
• a _n =_第n个算术级数项
• S _n =系列中前n个元素的总和

AP的一般形式

如果将a作为第一项，将d作为公共差，则^AP的第N个项将由以下公式给出：

因此，通过使用给定的公式计算AP的n个项，AP的一般形式如下：

示例：找到系列5,11,17,23 ….中的^{第35个术语。}

解决方案：

In the given series,

a = 5, d = a₂ – a₁ = 11 – 5 = 6, n = 35

We have to find out the 35^th term, hence, apply the formulae,

a_n = a + (n – 1)d

a_n = 5 + (35 – 1) x 6

a_n = 5 + 34 x 6

a_n = 209

Hence 209 is the 35_th term.

n算术级数项的总和

算术级数和的公式是，

S _n =(n / 2)[2a +(n − 1)×d]

公式的推导

假设“ l”表示该_系列的第n个项，而S _n为AP a的前n个项的太阳，则(a + d)，(a + 2d)，….，a +(n-1)d，

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ….a_n-1 + a_n

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (l – 2d) + (l – d) + l                      …(1)

Writing the series in reverse order, we get,

S_n = l + (l – d) + (l – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a                      …(2)

Adding equation (1) and (2),

2S_n = (a + l) + (a + l) + (a + l) + …….. + (a + l) + (a + l) + (a + l)

2S_n = n(a + l)

S_n = (n/2)(a + l)             …(3)

Hence, the formulae for finding the sum of a series is,

S_n = (n/2)(a + l) 

where,

a is the first term

l is the last term of the series and 

n is the number of terms in the series

Replacing the last term l by the n^th term in equation 3 we get,

n^th term = a + (n – 1)d

S_n = (n/2)(a + a + (n – 1)d)

S_n = (n/2)(2a + (n – 1) x d)

Note: The consecutive terms in an Arithmetic Progression can also be represented as,

…….., a-3d , a-2d, a-d, a, a+d, a+2d, a+3d, ……..

算术级数的样本问题

问题1.找到系列5,11,17,23 ….中前35个项的总和。

解决方案：

In the given series,

a = 5, d = a₂ – a₁ = 11 – 5 = 6, n = 35

S_n = (n/2)(2a + (n – 1) x d)

S_n = (35/2)(2 x 5 + (35 – 1) x 6)

S_n = (35/2)(10 + 34 x 6)

S_n = (35/2)(10 + 204)

S_n = 35 x 214/2

S_n = 3745

问题2。当系列的第一个项是5，而系列的最后一个是209，并且系列中的项数是35时，找到系列的总和。

解决方案：

In the given series,

a = 5, l = 209, n = 35

S_n = (n/2)(a + l)

S_n = (35/2)(5 + 209)

S_n = 35 x 214/2

S_n = 3745

问题3。21卢比被分为三个兄弟，三个部分的货币在AP中，其平方和为155。找出最大的金额。

解决方案：

Let the three parts of money be (a-d), a, (a+d), as thee distributed amount is in AP

Given that

(a – d) + a + (a + d) = 21

Therefore, 

3a = 21

a = 7

Again, (a – d)² + a² + (a + d)² = 155

a² + d² – 2ad + a² + a² + d² + 2ad = 155

3a² + 2d² = 155

Putting the value of ‘a’ we get,

3(7)² + 2d² = 155

2d² = 155 – 147

d² = 4

d = ±2

The three parts of distributed money are:

a + d = 7 + 2 = 9

a = 7

a – d = 7 – 2 = 5

Hence, the largest part is Rupees 9