第 10 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章算术级数 - 练习 9.5

问题 1：求 x 的值，其中 (8x + 4)、(6x – 2) 和 (2x + 7) 在 AP 中

解决方案：

Since (8x + 4), (6x – 2) and (2x + 7) are in A.P.

Now we know that condition for three number being in A.P.-

⇒2*(Middle Term)=(First Term)+(Last Term)

⇒2(6x-2)=(8x+4)+(2x+7) 

⇒12x-4=10x+11

⇒(12x-10x)=11+4

⇒2x=15

⇒x=15/2

Mean value of x=15/2.

问题 2：如果 x + 1、3x 和 4x + 2 在 AP 中，求 x 的值。

解决方案：

Since x + 1, 3x and 4x + 2 are in A.P. 

Now we know that condition for three number being in A.P.-

⇒2*(Middle Term)=(First Term)+(Last Term)

⇒2(3x)=(x+1)+(4x+2)

⇒6x=5x+3

⇒x=3

Mean value of x=3.

问题 3：证明 (a – b)²、(a² + b²) 和 (a + b)² 在 AP

解决方案：

We know that condition for three number being in A.P.-

⇒2*(Middle Term)=(First Term)+(Last Term)   ———-(1)

First term=(a-b)²

               =a²-2ab+b²

Middle term=a²+b²

Last term=(a+b)²

              =a²+2ab+b²

Now putting these values in equation(1)-

⇒2(a²+b²)=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²)

⇒2(a²+b²)=2a²+2b²

⇒2(a²+b²)=2(a²+b²)

Since L.H.S=R.H.S.

Hence proved.

问题4：AP的三项之和为21，第一项和第三项的乘积超过第二项6，求三项。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let three terms are=(a-d),a,(a+d)

Now according to first condition-

⇒(a-d)+a+(a+d)=21

⇒3a=21

⇒a=7

Now according to second condition-

⇒(a-d)(a+d)=a+6

⇒a²-d²=a+6

Putting a=7-

⇒49-d²=7+6

⇒d²=49-13

⇒d²=36

⇒d=6    or   d=-6

When a=7 and d=6

       First number=a-d=1           

       Second number=a=7      

       Third number=a+d=13       

When a=7 and d=-6

          First number=a-d=13       

         Second number=a=7     

         Third number=a+d=1

So required numbers are 1,7 and 13 or 13,7 and 1.

问题 5：AP 中有三个数字 如果这些数字之和是 27 和乘积 648，请找出这些数字。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let three terms are=(a-d),a,(a+d)

Now according to first condition-

⇒(a-d)+a+(a+d)=27

⇒3a=27

⇒a=9

Now according to second condition-

⇒(a-d)*a*(a+d)=648

⇒(a²-d²)*a=648

putting a=9-

⇒(81-d²)*9=648

⇒81-d²=648/9

⇒81-d²=72

⇒d²=81-72

⇒d²=9

⇒d=-3   or     d=3

When a=9 and d=-3

       First term=a-d=12

       Second term=a=9

       Third term=a+d=6

When a=9 and d=3

         First term=a-d=6

         Second term=a=9

         Third term=a+d=12

means required numbers are 6,9 and 12 or 12,9 and 6.

问题 6：找出 AP 中的四个数，其和为 50，其中最大数是最小数的 4 倍。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let three terms are=(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)

Now according to first condition-

⇒(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=50

⇒4a=50

⇒a=50/4

⇒a=25/2

Now according to second condition-

⇒(greatest number)=4*(least number)

⇒a+3d=4(a-3d)

⇒a+3d=4a-12d

⇒3d+12d=4a-a

⇒15d=3a

Dividing by 3-

⇒5d=a

⇒5d=25/2

⇒d=5/2

with the help of a=25/2 and d=5/2-

⇒a-3d=(25/2)-(15/2)=10/2=5

⇒a-d=(25/2)-(5/2)=20/2=10

⇒a+d=(25/2)+(5/2)=30/2=15

⇒a+3d=(25/2)+(15/2)=40/2=20

So required numbers are 5,10,15 and 20.

问题 7：AP 中三个数字的和是 12，它们的立方和是 288。找出这些数字。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let three terms are=(a-d),a,(a+d)

Now according to first condition-

⇒(a-d)+a+(a+d)=12

⇒3a=12

⇒a=4

And according to second condition-

⇒(a-d)³+a³+(a+d)³=288

by using (A+B)³=A³+3AB(A+B)+B³

and        (A-B)³=A³-3AB(A-B)-B³  

⇒{a³-3ad(a-d)-d³}+a³+{a³+3ad(a+d)+d³}=288

⇒3a³-3a²d+3ad²+3a²d+3ad²=288

⇒3a³+6ad²=288

dividing by 3-

⇒a³+2ad²=96

putting a=4-

⇒64+8d²=96

dividing by 8-

⇒8+d²=12

⇒d²=4

⇒d=-2  or   d=2

when a=4 and d=-2

   a-d=6

       a=4

  a+d=2

when a=4 and d=2

   a-d=2

       a=4

   a+d=6

so required numbers are 6,4 and 2  or    2,4 and 6.

问题 8：在 AP 中将 56 分为四个部分，使得它们的极值乘积与均值乘积之比为 5 : 6。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let required four parts are=(a-3d),(a-d),(a+d),(a+3d)

now since (a-3d),(a-d),(a+d),(a+3d) are parts of 56.

so-

⇒(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=56

⇒4a=56

⇒a=14

Now extreme parts are=(a-3d) and (a+3d)

and mean parts are=(a-d) and (a+d)

According to given condition-

⇒{(a-3d)(a+3d)}/{(a-d)(a+d)}=5/6

⇒6{(a-3d)(a+3d)}=5{(a-d)(a+d)}

by using (A-B)(A+B)=A²-B²  –

⇒6{a²-9d²}=5{a²-d²}

putting a=14

⇒6{196-9d²}=5{196-d²}

⇒6*196-54d²=5*196-5d²

⇒6*196-5*196=54d²-5d²

⇒196=49d²

⇒d²=4

⇒d=2    or    d=-2

When a=14  and d=2  –

   a-3d=8

    a-d=12

    a+d=16

   a+3d=20

When a=14  and  d=-2

    a-3d=20

    a-d=16

    a+d=12

    a+3d=8

So required parts are 8,12,16 and 20   or     20,16,12 and 8.

问题 9：四边形的角在 AP 中，公差为 10°。找到角度。

解决方案：

Let the angles of quadrilateral are-

           (a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)

Now we know that sum of angles in a quadrilateral is=360°

⇒(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=360°

⇒4a=360° 

⇒a=90°

Now common difference=10°

⇒(Second angle)-(First angle)=10°

⇒(a-d)-(a-3d)=10°

⇒a-d-a+3d=10°

⇒2d=10°

⇒d=5°

So when a=90° and d=5° –

           a-3d=75°

             a-d=85°

             a+d=95°

           a+3d=105°

So required angles are 75°,85°,95° and 105°.

问题 10：将 207 拆分为三个部分，使得它们在 AP 中，两个较小部分的乘积是 4623。

解决方案：

Let the first term of the A.P. is=a

and common difference is=d

let three parts are=(a-d),a,(a+d)

Since (a-d),a and (a+d) are parts of 207—

⇒(a-d)+a+(a+d)=207

 ⇒3a=207

⇒a=69

Now according to given condition-

⇒(a-d)*a=4623

⇒(69-d)*69=4623

dividing by 69-

⇒69-d=67

⇒d=2

So when a=69 and d=2 –

        a-d=67

           a=69

      a+d=71

means required three parts of 207 are 67,69 and 71.