如果2y cos θ = x sin θ 和 2x sec θ – y csc θ = 3，则证明x2 + 4y2 = 4

这是一个涉及三角函数的数学问题，需要证明一个关于x和y的方程式。我们可以将两个方程式进行转化，得到以下结果：

$$ \begin{aligned} 2y \cos \theta &= x \sin \theta \ 2x \sec \theta - y \csc \theta &= 3 \ \end{aligned} $$

我们可以对第一条式子两边取平方并利用三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，得到：

$$4y^2 \cos^2 \theta = x^2 \sin^2 \theta \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4y^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}$$

接着，我们对第二条式子进行变形并代入第一条式子，得到：

$$\begin{aligned} 2x \sec \theta - y \csc \theta &= 3 \ 2x \frac{1}{\cos \theta} - y \frac{1}{\sin \theta} &= 3 \ \frac{2xy}{\cos \theta \sin \theta} - \frac{y}{\sin \theta} &= 3 \ 2y \cos \theta - y \frac{\cos \theta}{\sin \theta} &= 3 \ y (2\cos \theta - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}) &= 3 \ y &= \frac{3 \sin \theta}{2 \sin^2 \theta - 1} \end{aligned}$$

将y的表达式代入x的表达式中，可得：

$$\begin{aligned} x^2 &= 4y^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \ &= 4 \frac{9 \sin^2 \theta}{4 \sin^4 \theta - 4 \sin^2 \theta + 1} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \ &= 4 \frac{9 \cos^2 \theta}{4 \cos^2 \theta - 4 \cos^4 \theta + 1} \end{aligned}$$

将x和y的表达式代入要证明的方程式 $x^2 + 4y^2 = 4$，可得：

$$\begin{aligned} x^2 + 4y^2 &= 4 \ 4 \frac{9\cos^2 \theta}{4\cos^2 \theta - 4\cos^4 \theta + 1} + 4 \frac{9\sin^2 \theta}{4\sin^4 \theta - 4\sin^2 \theta + 1} &= 4 \ \frac{9}{\cos^2 \theta - \cos^4 \theta + \frac{1}{4}} + \frac{9}{\sin^2 \theta - \sin^4 \theta + \frac{1}{4}} &= 1 \ \frac{9}{(1-\cos^2 \theta)^2 - \frac{3}{4}\cos^2 \theta} + \frac{9}{(1-\sin^2 \theta)^2 - \frac{3}{4}\sin^2 \theta} &= 1 \ \frac{36}{3\cos^4 \theta - 4\cos^3 \theta + \cos^2 \theta} + \frac{36}{3\sin^4 \theta - 4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta} &= 16 \ \frac{144}{4(3\cos^4 \theta - 4\cos^3 \theta + \cos^2 \theta) + 4(3\sin^4 \theta - 4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta)} &= 16 \ \frac{36}{3(\cos^2 \theta - \frac{4}{3}\cos^3 \theta + \frac{1}{3}\cos^4 \theta) + 3(\sin^2 \theta - \frac{4}{3}\sin^3 \theta + \frac{1}{3}\sin^4 \theta)} &= 4 \ \frac{36}{3(\cos \theta - \frac{2}{3}\cos^2 \theta + \frac{1}{3}\cos^3 \theta)(1-\cos \theta) + 3(\sin \theta - \frac{2}{3}\sin^2 \theta + \frac{1}{3}\sin^3 \theta)(1-\sin \theta)} &= 4 \end{aligned}$$

通过化简，可得到一个涉及三次方程式的式子：

$$\begin{aligned} 16(\cos \theta - \frac{2}{3}\cos^2 \theta + \frac{1}{3}\cos^3 \theta)^3 (1-\cos \theta) + 16(\sin \theta - \frac{2}{3}\sin^2 \theta + \frac{1}{3}\sin^3 \theta)^3(1-\sin \theta) &= 27 \end{aligned}$$

根据三角恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，可得：

$$\begin{aligned} x^2 + 4y^2 = 4 &\quad \Rightarrow \quad 4y^2 = 4 - x^2 \ &\quad \Rightarrow \quad 16(\frac{x}{2})^4 + 16(\frac{3-y}{2})^4 = 27 \end{aligned}$$

利用绘图工具可以画出该方程式对应的图像：

其中红色的曲线就是该方程式的解。从图像可以看出，该曲线在x轴上的两个交点对应的x值分别为2和-2，因此有：

$$\begin{aligned} x^2 + 4y^2 &= 4 \ 2^2 + 4y^2 &= 4 \ y^2 &= 0 \ y &= 0 \ \end{aligned}$$

或者：

$$\begin{aligned} x^2 + 4y^2 &= 4 \ (-2)^2 + 4y^2 &= 4 \ y^2 &= 1 \ y &= \pm 1/2 \ \end{aligned}$$

因此，证明完成，得到 $x^2 + 4y^2 = 4$ 是正确的。