通过正弦余弦函数证明

在平面直角坐标系中，如果有如下等式：

x = a sin θ + b cos θ
y = a cos θ - b sin θ

要证明 x2 + y2 = a2 + b2 成立，只需要用上面的等式代入左右两边：

x^2 + y^2 = (a sin θ + b cos θ)^2 + (a cos θ - b sin θ)^2
          = a^2 sin^2 θ + 2ab sin θ cos θ + b^2 cos^2 θ +
            a^2 cos^2 θ - 2ab sin θ cos θ + b^2 sin^2 θ
          = a^2 (sin^2 θ + cos^2 θ) + b^2 (sin^2 θ + cos^2 θ)
          = a^2 + b^2

由此可见，原等式成立，也就是 x2 + y2 = a2 + b2。

这里我们利用了三角函数正弦余弦函数的性质，以及平面直角坐标系中的点到原点的距离公式。后面的推导过程主要是利用了三角函数相关运算的简化，以及平面直角坐标系中的坐标平方和与点到原点的距离平方和的关系。

在编程中，我们可以将上述等式封装为一个函数，根据传入的参数 a、b、θ 计算出 x 和 y 的值，并验证 x2 + y2 是否等于 a2 + b2。

import math

def verify_equation(a, b, theta):
    x = a * math.sin(theta) + b * math.cos(theta)
    y = a * math.cos(theta) - b * math.sin(theta)
    return x**2 + y**2 == a**2 + b**2

这里使用了 Python 的标准数学库 math 中的正弦和余弦函数，可以直接计算出传入的 θ 对应的正弦和余弦值。函数的返回值为 True 或 False，表示等式是否成立。