如果 tan A = (sin θ – cos θ)/(sin θ + cos θ) 那么证明 sin θ + cos θ = ± √2 cos A

三角学是数学的一个分支，它处理用于确定三角形的角度和未知边的三角比率。角度以弧度或度为单位。三角学中广泛使用的角度有 0°、30°、45°、60° 和 90°。

三角比

三角比是构成三角学基础的 6 个基本三角关系。这 6 个三角关系是直角三角形中所有可区分的可实现组合的比率，角度使用数学符号 θ (theta) 表示。

六个基本三角比是：

• 正弦波
• 余弦
• 相切
• 余割
• 割线
• 余切

三角比的倒数：

• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/秒 θ
• tan θ = 1/cot θ

三角恒等式

三角恒等式是一个方程，如果它对所有角度值都成立，则它包含一个角度的三角比。每当表达式或方程中涉及三角函数时，这些都是可用的。所有这些三角比都用直角三角形的边勾勒出来，类似于邻边、对边和斜边。

其中一些身份是：

• tan θ = sin θ/cos θ
• 婴儿床 θ = cos θ/sin θ
• tan θ 。婴儿床 θ = 1
• 罪² θ + cos ² θ = 1
• 1 + tan ² θ = 秒² θ
• 1 + 婴儿床² θ = cosec ² θ

证明：sin θ + cos θ = ± √2 cos A，其中 tan A = (sin θ – cos θ)/(sin θ + cos θ)

解决方案：

We have, tan A = (sin θ – cos θ)/(sin θ + cos θ)……(i)

As we know, 1 + tan² A = sec² A……(ii)

On substituting the value of tan A from (i) to (ii)

=> 1 + {(sin θ – cos θ)/(sin θ + cos θ)}² = sec² A

=> 1 + (sin θ – cos θ)²/(sin θ + cos θ)² = sec² A

=> {(sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)²}/(sin θ + cos θ)²  = sec² A

=> (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ + sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ)/(sin θ + cos θ)²  = sec² A

=> (1 + 1)/(sin θ + cos θ)²  = sec² A    [ ∵ sin² θ + cos² θ = 1 ]

=> 2/(sin θ + cos θ)²  = sec² A 

=> 2/sec² A = (sin θ + cos θ)²

=> 2 cos² A = (sin θ + cos θ)²    [ ∵ cos² A = 1/sec² A ]

=> (± √2 cos A)² = (sin θ + cos θ)²

=> ± √2 cos A = sin θ + cos θ    [ performing square root in both sides ]

∴ sin θ + cos θ = ± √2 cos A, Hence Proved.

类似问题

问题 1：如果 sin θ + cos θ = √2 cos θ (θ ≠ 90°)，则求 tan θ 的值

解决方案：

Given sin θ + cos θ = √2 cos θ

=> (sin θ + cos θ)/cos θ  = √2 cos θ/cos θ    [ dividing both sides by cos θ ]

=> (sin θ/cos θ) + (cos θ/cos θ) = √2

=> tan θ + 1 = √2

=> tan θ = √2 – 1

问题 2：如果 sin θ + cos θ = √2 cos θ，则证明 cos θ - sin θ = √2 sin θ

解决方案：

Given:  sin θ + cos θ =  √2 cos θ

To Prove: cos θ − sin θ = √2 sin θ

Proof:-

sin θ + cos θ =  √2 cos θ

=> sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ    [ squaring both sides ]

=> sin² θ – cos² θ + 2 sin θ cos θ = 0

=> – sin² θ – cos² θ + 2 sin θ cos θ = – 2 sin² θ    [ subtracting both sides by 2 sin² θ ]

=> sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ =  2 sin² θ

=> (cos θ – sin θ)² = 2 sin² θ

=> cos θ − sin θ = √2 sin θ, Hence Proved.

问题 3：如果 xcos θ + y sin θ = p 且 x sin θ – y cos θ = q，则求 x ² + y ²

解决方案：

p² = x² cos² θ + y² sin² θ + 2 xy sin θ cos θ

q² = x² sin² θ + y² cos² θ – 2 xy sin θ cos θ

p² + q² = x² cos² θ + y² sin² θ + 2 xy sin θ cos θ + x² sin² θ + y² cos² θ – 2 xy sin θ cos θ

p² + q² = x² (sin² θ + cos² θ) + y² (sin² θ + cos² θ) = x² + y²    [ ∵ sin² θ + cos² θ = 1 ]

∴ x² + y² = p² + q²

问题4： 2sin ⁶ θ + 2cos ⁶ θ + 6 sin ² θ cos ² θ 的值为

解决方案：

We have, 2sin⁶ θ + 2cos⁶ θ + 6 sin² θ  cos² θ

= 2( sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ))

= 2((sin² θ)³ + (cos² θ)³ + 3 sin² θ  cos² θ (sin² θ + cos² θ))

= 2((sin² θ + cos² θ)³)

= 2 x 1³

= 2

问题 5：如果 sin θ + sin ² θ = 1，那么 cos ¹² θ + 3 cos ⁸ θ + cos ⁶ θ 的值为

解决方案：

Given,  sin θ +  sin² θ = 1

=> sin θ = 1 – sin² θ

=> sin θ = cos² θ……(i)

Let, (sin² θ + cos² θ)³ = 1³

=> sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ) = 1

=> (cos² θ)⁶ + cos⁶ θ + 3 (cos² θ)² cos² θ = 1

=> cos¹² θ + cos⁶ θ + 3 cos⁸ θ  = 1

∴ The value of  cos¹² θ + 3 cos⁸ θ + cos⁶ θ is 1.