证明 a cos θ + b sin θ = ± √(a2 + b2 – c2)

这是一个数学公式的证明，我们可以用简单的代数运算和三角函数知识来验证。

首先，将原式稍微变形一下，得到：

a sin θ – b cos θ = c

我们希望导出 a cos θ + b sin θ 的式子，所以我们需要在这个等式两边同时乘以 cos θ，同时乘以 sin θ。这样可以用到三角函数的诸多恒等式。

得到：

a sin θ cos θ – b cos θ cos θ = c cos θ

a sin θ sin θ – b cos θ sin θ = c sin θ

然后，我们可以把第一个式子加上第二个式子，得到：

a sin θ cos θ + a sin θ sin θ – b cos θ cos θ – b cos θ sin θ = c cos θ + c sin θ

然后我们可以把左边的 cos θ 和 sin θ 分别约掉，得到：

a (sin θ cos θ + sin θ sin θ) – b (cos θ cos θ + cos θ sin θ) = c (cos θ + sin θ)

接着，使用三角函数的恒等式把左边的式子约掉：

a sin (θ + π/2) – b cos (θ + π/2) = c (cos θ + sin θ)

用到了：

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

现在我们的式子左边变成了 a cos (θ – π/2) – b sin (θ – π/2)。

最后，我们可以把左边的式子合并起来，并使用三角函数恒等式：

a cos (θ – π/2) – b sin (θ – π/2) = ± √(a2 + b2) * sin (θ – π/2 + arccos (c / √(a2 + b2)))

用到了：

sin (π/2 – a) = cos a cos (π/2 – a) = sin a cos (arccos a) = a

再将 sin (θ – π/2 + arccos (c / √(a2 + b2))) 改写成 cos (θ – arccos (c / √(a2 + b2))) 即可。

得到我们最终的结论：

a cos θ + b sin θ = ± √(a2 + b2 – c2)。

代码片段:

a = 1
b = 2
c = 3
cos_theta = (a**2 + b**2 - c**2) / (2 * a * b)
sin_theta = (1 - cos_theta**2)**0.5
result = a * cos_theta + b * sin_theta
print(result)