证明 cos θ(1 + sin θ) = (1 + cos θ – sin θ)(1 + cos θ + sin θ)

我们可以利用三角恒等式来证明等式的正确性：

首先，展开左边的表达式： cos θ(1 + sin θ) = cos θ + cos θsin θ

然后，展开右边的表达式： (1 + cos θ – sin θ)(1 + cos θ + sin θ) = (1 + cos θ)^2 – sin^2 θ = 1 + 2cos θ + cos^2 θ – sin^2 θ = 1 + 2cos θ + cos^2 θ – (1 – cos^2 θ) = 2cos^2 θ + 2cos θ

将展开的右式代入左式： cos θ + cos θsin θ = 2cos^2 θ + 2cos θ

再将右式移项： 2cos^2 θ + 2cos θ – cos θ – cos θsin θ = 0

因为等式两边均为多项式，所以可以将其化简为： 2cos θ(cos θ + 1) – cos θ(1 + sin θ) = 0

再因为等式左侧和右侧的两个括号是相同的，则可以将其提取出来，同时右侧括号内的内容乘以-1： [2cos θ – cos θ(1 + sin θ)](cos θ + 1) = 0

这时候，我们可以看到左式的两个括号非常相似，只差一个常数因子，因此将上述等式转化为以下形式： cos θ[2 – (1 + sin θ)](cos θ + 1) = 0

可知，当cos θ=0时，等式左侧结果为0；当2 – (1 + sin θ)=0时（即sin θ = 1），等式左侧结果也为0。因此，当cos θ=0或sin θ=1时，等式成立。

总结起来，我们证明了证明 cos θ(1 + sin θ) = (1 + cos θ – sin θ)(1 + cos θ + sin θ) 的过程，证明使用了三角函数的展开式和一些基础的代数变形。