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📜  如果 a sin θ – b cos θ = c 则证明 a cos θ + b sin θ = ± √(a2 + b2 – c2)。

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:54:15.090000             🧑  作者: Mango

如果 a sin θ – b cos θ = c 则证明 a cos θ + b sin θ = ± √(a 2 + b 2 – c 2 )。

三角学基本上是研究三角形的角度和边之间的关系。它是日常生活中广泛使用的数学主题之一。它涉及对直角三角形的操作，即一个角度等于 90° 的三角形。在继续之前，我们应该了解一些术语。这些条款是，

  1. 斜边– 它是直角三角形中与直角相对的一侧。它是直角三角形的最长边。在图1侧，AC是斜边。
  2. 垂直- 三角形的垂线，对应于一个特别锐角 θ 是角度 θ 的对边。在图1侧，AB是角度θ对应的垂线。
  3. 底- 它是与特别锐角 θ 相邻的一侧。在图 1 中，边 BC 是对应于角度 θ 的底边。

如前所述，三角学描述了直角三角形的角和边之间的关系。这种关系用标准比率表示，如下所示：

  • 正弦 (sin)：角度 θ 的正弦是对应于角度 θ 的垂线长度与三角形斜边长度之比。

sin θ = 垂直/斜边 = p/h

  • 余弦 (cos)：角度 θ 的余弦是对应于角度 θ 的底边长度与三角形斜边长度之比。

cos θ = 底边/斜边 = b/h

  • 切线 (tan)：角 θ 的切线是对应于角 θ 的垂线长度与三角形特定角的底边长度之比。

tan θ = 垂直/底边 = p/b

  • 余切（cot）：它是正切的倒数。

婴儿床 θ = 1/tan θ = 底/垂直 = b/p

  • 正割（sec）：是余弦的倒数。

sec θ = 1/cos θ = 斜边/底边 = h/b

  • 余割（cosec）：它是正弦的倒数。

cosec θ = 1/sin θ = 斜边/垂直 = h/p

互补角的三角函数

三角学的关系之一包括互补角的概念。互补角是一组两个角度，比如 x 和 y，这样在添加它们时它们的值为 90°。因此，我们可以说 x = 90° – y。三角比之间存在特殊的互补关系，如下所示

在 sin 和 cos 之间：

sin(90° – x) = cos x

cos(90° – x) = sin x

棕褐色和婴儿床之间：

tan(90° – x) = 婴儿床 x

婴儿床 (90° – x) = 棕褐色 x

在 sec 和 cosec 之间：

sec(90° – x) = cosec x

cosec(90° – x) = 秒 x

三角恒等式

这些恒等式取决于勾股定理。将毕达哥拉斯定理应用于直角三角形，我们得到：

对边2 + 相邻2 = 斜边2

两边除以斜边2

对边2 /斜边2 + 邻边2 /斜边2 = 斜边2 /斜边2

在下面给出的问题中，将使用三角比之间的一些互补关系。

如果 a sin θ – b cos θ = c ，证明 a cos θ + b sin θ = ± √(a 2 + b 2 – c 2 )

解决方案：

类似问题

问题1：若θ为锐角，7sin2θ + 3cos2θ = 4，求tanθ的值。

解决方案：

问题 2：如果 cosα = a cosβ 且 sinα = b sinβ，则根据 a 和 b 求 sin2β 的值。

解决方案：

问题 3：a、b、c 是三角形 ABC 的三个边的长度。如果a、b、c 的关系是a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则求(sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) 的值。

解决方案：

问题 4：如果 cot θ = 7/8，评估

(i) ((1 + sinθ) * (1 – sinθ))/(1 + cosθ) * (1 – cosθ)))

(ii) cot2θ

解决方案：

问题 5：如果 3 cot A = 4，检查是否 (1 – tan 2 A)/(1 + tan 2 A) = cos 2 A – sin 2 A

解决方案：