题目介绍

本题要求证明当 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$ 时，每一边都等于 $\pm \sin A \sin B \sin C$。

在数学上，$\sin A \sin B \sin C$ 是三角形三个内角对应的正弦值的积，而 $\cos A$ 表示三角形角 $A$ 的余弦值。

这道题目涉及到三角函数的基本性质，需要通过数学公式和推理进行证明。

证明过程

首先，我们将 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$ 展开，并对等式两边进行化简得:

$$(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$$

$$\Rightarrow (1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$$

$$\Rightarrow (1 – \cos^2 A)(1 – \cos^2 B)(1 – \cos^2 C) = (1 – \cos^2 A)(1 – \cos^2 B)(1 – \cos^2 C)$$

$$\Rightarrow \sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C = (\cos^2 A - 1)(\cos^2 B - 1)(\cos^2 C - 1)$$

$$\Rightarrow \sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C = -\cos A \cos B \cos C$$

接下来，我们通过三角函数的关系式进行推导：

$$\begin{aligned} \sin A \sin B \sin C &= \sin A \cdot \frac{\sin B}{\sin A} \cdot \frac{\sin C}{\sin B} \ &= \frac{\cos A}{2} \cdot \frac{\cos B - \cos(A+B)}{2\sin A} \cdot \frac{\cos C - \cos(A+C)}{\sin B} \ &= \frac{\cos A}{2\sin A} \cdot \frac{\cos B - \cos(A+B)}{2\sin B} \cdot \frac{\cos C - \cos(A+C)}{2} \end{aligned}$$

由于在三角形中，$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ 和 $\cos(A+C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$，代入上面的式子得：

$$\begin{aligned} \sin A \sin B \sin C &= \frac{\cos A}{2\sin A} \cdot \frac{\cos B - (\cos A \cos B - \sin A \sin B)}{2\sin B} \cdot \frac{\cos C - (\cos A \cos C - \sin A \sin C)}{2} \ &= \frac{\cos A(\sin A \sin B \sin C - \cos A \cos B \cos C)}{2\sin A\sin B\sin C} \end{aligned}$$

于是，我们得到了 $\sin A \sin B \sin C = \pm \cos A \cos B \cos C$，其中正负号取决于 $\sin A \sin B \sin C$ 和 $\cos A \cos B \cos C$ 的符号。

由于题目假设 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$，因此 $(\cos A + 1)(\cos B + 1)(\cos C + 1) = (\cos A - 1)(\cos B - 1)(\cos C - 1)$，即 $\cos A \cos B \cos C = -\sin A \sin B \sin C$。

综上所述，$\sin A \sin B \sin C = \pm \cos A \cos B \cos C = \pm \frac{1}{8}((1+\cos A)(1+\cos B)(1+\cos C) - (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C))$。

代码实现

以下是证明过程的markdown代码实现：

# 题目介绍

本题要求证明当 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$ 时，每一边都等于 $\pm \sin A \sin B \sin C$。

在数学上，$\sin A \sin B \sin C$ 是三角形三个内角对应的正弦值的积，而 $\cos A$ 表示三角形角 $A$ 的余弦值。

这道题目涉及到三角函数的基本性质，需要通过数学公式和推理进行证明。

# 证明过程

首先，我们将 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$ 展开，并对等式两边进行化简得:

$$(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$$

$$\Rightarrow (1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$$

$$\Rightarrow (1 – \cos^2 A)(1 – \cos^2 B)(1 – \cos^2 C) = (1 – \cos^2 A)(1 – \cos^2 B)(1 – \cos^2 C)$$

$$\Rightarrow \sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C = (\cos^2 A - 1)(\cos^2 B - 1)(\cos^2 C - 1)$$

$$\Rightarrow \sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C = -\cos A \cos B \cos C$$

接下来，我们通过三角函数的关系式进行推导：

$$\begin{aligned} \sin A \sin B \sin C &= \sin A \cdot \frac{\sin B}{\sin A} \cdot \frac{\sin C}{\sin B} \\ &= \frac{\cos A}{2} \cdot \frac{\cos B - \cos(A+B)}{2\sin A} \cdot \frac{\cos C - \cos(A+C)}{\sin B} \\ &= \frac{\cos A}{2\sin A} \cdot \frac{\cos B - \cos(A+B)}{2\sin B} \cdot \frac{\cos C - \cos(A+C)}{2} \end{aligned}$$

由于在三角形中，$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ 和 $\cos(A+C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$，代入上面的式子得：

$$\begin{aligned} \sin A \sin B \sin C &= \frac{\cos A}{2\sin A} \cdot \frac{\cos B - (\cos A \cos B - \sin A \sin B)}{2\sin B} \cdot \frac{\cos C - (\cos A \cos C - \sin A \sin C)}{2} \\ &= \frac{\cos A(\sin A \sin B \sin C - \cos A \cos B \cos C)}{2\sin A\sin B\sin C} \end{aligned}$$

于是，我们得到了 $\sin A \sin B \sin C = \pm \cos A \cos B \cos C$，其中正负号取决于 $\sin A \sin B \sin C$ 和 $\cos A \cos B \cos C$ 的符号。

由于题目假设 $(1 + \cos A)(1 + \cos B)(1 + \cos C) = (1 – \cos A)(1 – \cos B)(1 – \cos C)$，因此 $(\cos A + 1)(\cos B + 1)(\cos C + 1) = (\cos A - 1)(\cos B - 1)(\cos C - 1)$，即 $\cos A \cos B \cos C = -\sin A \sin B \sin C$。

综上所述，$\sin A \sin B \sin C = \pm \cos A \cos B \cos C = \pm \frac{1}{8}((1+\cos A)(1+\cos B)(1+\cos C) - (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C))$。