证明题目

题目描述

给定条件: 如果 $(\cos \theta + \sin \theta) = \sqrt{2} \cos \theta$，需要证明 $(\cos \theta - \sin \theta) = \sqrt{2} \sin \theta$。

证明过程

首先，我们可以将给定的等式 $(\cos \theta + \sin \theta) = \sqrt{2} \cos \theta$ 进行转换，消去 $\cos \theta$。

\begin{align*} \cos \theta + \sin \theta &= \sqrt{2} \cos \theta \ \sin \theta &= \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta \ \sin \theta &= (\sqrt{2} - 1) \cos \theta \end{align*}

然后，我们可以将要证明的等式 $(\cos \theta - \sin \theta) = \sqrt{2} \sin \theta$ 进行转换，消去 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$。

\begin{align*} \cos \theta - \sin \theta &= \sqrt{2} \sin \theta \ \cos \theta &= \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta \ \cos \theta &= (1 + \sqrt{2})\sin \theta \end{align*}

接下来，我们将 $\sin \theta$ 的值替换为等式 $\sin \theta = (\sqrt{2} - 1)\cos \theta$。

\begin{align*} \cos \theta &= (1 + \sqrt{2})\sin \theta \ \cos \theta &= (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)\cos \theta \ \cos \theta &= (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)\left(\sqrt{2} - 1\right)\cos \theta \quad \text{(替换 $\sin \theta$)} \ \cos \theta &= (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)^2\cos \theta \ \cos \theta &= 2(2 - \sqrt{2})\cos \theta \ 1 &= 2 - \sqrt{2} \quad \text{(除去 $\cos \theta$)} \ \sqrt{2} &= 1 \end{align*}

由于 $\sqrt{2} \neq 1$，因此我们可以得出结论：$(\cos \theta - \sin \theta) = \sqrt{2} \sin \theta$ 不成立。

结论

根据以上证明过程，我们可以得出结论：

如果 $(\cos \theta + \sin \theta) = \sqrt{2} \cos \theta$，则 $(\cos \theta - \sin \theta) \neq \sqrt{2} \sin \theta$。