令 z = 3 – 3i，然后求 z 的极坐标形式

复数是 (a + ib) 形式的数字表示，其中 a 和 b 代表实数，i 是虚数。例如，如果 2 + 3i 是复数，则 2 和 3 是实数，而 i 是虚数单位。

复数的分类

根据 z=(a+ib) 的标准复数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，数字分为四种类型，

Complex numbers	Form	Examples
Zero Complex number	a = 0 and b = 0	0
Purely real number	a ≠ 0 and b = 0	2, 3, 5, 7, 9
Purely imaginary number	a = 0 and b ≠ 0	-7i, -5i, 3i, 2i
Imaginary  number	a ≠ 0 and b ≠ 0	(1 + i), (2 + 3i), (-1, -i)

复数的不同形式

除了通常的矩形形式 z = a + ib。复数也以其他两种形式表示。因此，复数通常以三种形式表示，它们是一般形式、极坐标形式和指数形式。

• 一般形式： z = a + ib

例如：(2 + 3i)、(7i) 等

• 极坐标形式： z = r(cosθ + isinθ)

例如：[cos(π/4) + isin(π/4)]、[3(cos(π/2) + isin(π/2))]等。

• 指数形式： z = rexp(iθ)

例如：e ^i(π/4) 、4e ^i(π/6)等。

极地形式

极坐标形式是复数的一种表示方式，不同于矩形形式 z = a + ib 其中 i 代表虚数。而在极坐标形式中，相同的数字以模块的形式排列。

令 z = 3 – 3i。求 z 的极坐标形式。

解决方案：

Representing the number in polar form z= r(cosθ+isinθ)

Step 1: Find the value of θ.

z is in quadrant 4 between -π/2 and 0.

Therefore, θ = between -π/2 and 0.

Tanθ = -3/3

θ = -π/4

Step.2. Find modulus |z|

|z| = $\sqrt{(3)^2+(-3)^2}$

= $\sqrt{9+9}$

= $\sqrt18=3\sqrt2$

Step.3. Writing z in polar form

Z = 3√2(cos(π/4) + isin(-π/4))

It can also be written as 

z = 3√2 cos(-π/4)

示例问题

问题1：转换复数√3 + i。

回答：

As  polar form Z = r(cosθ + isinθ)   ⇢  (i)

Given complex number = √3 + i

Now,

Let rcosθ = √3 and rsinθ = 1

Squarring equation (i)

= r²cos²θ + r²sin²θ = (√3)² + (1)²

= r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1

= r² = 4

= r = √4 = 2

Since,

2cosθ = √3

= cosθ = √3/2

And, 2sinθ = 1

= sinθ = 1/2

Therefore, θ = π/6

= √3 + i = 2(cosπ/6 + isinπ/6)

问题2：你如何找到极坐标形式的Z？

回答：

The polar form of complex number  z = a + ib is z = r(cosθ + isinθ).

问题 3：将复数 -12/1 + i√2 转换为极坐标形式。

回答：

Given,

The complex number -12/1 + i√2

Rationalising the number

= -12/1 + i√2 × 1 – i√2/1 – i√2

By algebraic formula (a + b)(a – b) = a² – b²

= -12(1 – i√2)/(1)² – (i√2)²

= -12(1 – i√2)/1 – 2i²