完美的平方公式

代数表达式是由变量和常数以及代数运算（加法、减法等）组成的数学表达式。例如，让 3x +1 成为我们的代数表达式（变量表达式）。代数表达式有不同的组成部分。让我们看一下下面给出的图像，以了解任何代数表达式的变量、常数、项和系数的概念。

代数表达式的类型

代数表达式主要分为三种类型：

• 单项式表达式：单项式表达式是只有一项的代数表达式。例如 2xy、-4y、3 等。
• 二项式表达式：二项式表达式是一种代数表达式，它有 2 个不同的项。例如 2x+3y、3x ² +9xy 等。
• 多项式表达式：多项式表达式是具有 2 个或多个不同项的代数表达式。例如 3x+4y+9、x ² +y ² +2xy 等。

一些其他类型的代数表达式

除了单项式、二项式和多项式表达式外，代数表达式还可以分为两种类型：

• 数值表达式：数值表达式由应用于数值的运算组成。例如 2+(5+2)×7、√81-absolute(-8+17)+3 等。
• 变量表达式：变量表达式是变量、数值和运算符的组合，用于定义表达式。例如 4x+3y.3ab+12 等。

什么是完美广场？

完美平方是一个整数，它是某个其他整数的平方，或者我们可以说它是整数的第二个指数。我们可以通过下面的例子来理解它。让我们取 25，看看它是否是一个完美的正方形。所以 25 的因数是 5×5 = (5) ² 。所以 25 是一个完美的正方形，因为它是 5 的正方形。

如何识别完美正方形

我们需要检查三个规则来确定一个数字是否是一个完美的正方形：

规则 1：要检查的数字的一个（最后一个）数字空间应该有 1、4、5、6、9 或 0。

Example: 

(i) 49 = (7)²

(ii) 121 = (11)²

规则 2： (i)如果 1、4 或 9 在一个（最后一个）数字空间。然后十位（倒数第二位）的数字应该是偶数或0。

Example:

(i) 81 = (9)²

(ii) 169 = (13)²

(ii)如果 6 在一个（最后一个）数字空间。然后十位（倒数第二位）的数字应该是奇数。

Example:

(i) 196 = (14)² 

(ii) 36 = (6)²

(iii)如果 5 在一个（最后一个）数字位置。然后十位（倒数第二位）的数字应该是 2。

Example:

(i) 25 = (5)² 

(ii) 625 = (25)²

规则 3：完全平方的数字和应该是奇数或 4。

Example:

(i) 49

= 4 + 9 = 13 = 1 + 3 = 4 

So, digital sum of 49 is 4. So it is a perfect square.

(ii) 196

= 1 + 9 + 6 = 16 = 1 + 6 = 7

So, the digital sum of 196 is an odd number. So, it is a perfect square.  

注意：如果所有三个条件都满足，那么只有一个数字被称为完全平方。

完美的平方公式

完美平方公式用于计算两项的和/减的平方，即 (a+b) ²或 (ab) ² 。完美公式的展开式表示为

1. (a + b)² = a² + 2 × a × b + b²
2.  (a – b)² =  a²  – 2 × a × b + b²

完美平方公式的证明

(i) (a + b) ²的证明

⇒ (a + b)² = (a + b) × (a + b)

⇒(a + b)² = a × (a + b) + b × (a + b)

⇒(a + b)² = a² + ab + ba + b²

⇒(a + b)² = a² + ab + ab + b²  (ba = ab because of commutative law)

⇒(a + b)² = a² + 2ab + b²

Hence Proved

(ii) (a – b) ²的证明

⇒(a – b)² = (a – b) × (a – b)

⇒(a – b)² = a × (a – b) – b × (a – b)

⇒(a – b)² = a² – ab – ba + (-b) × (-b)

⇒(a – b)² = a² – ab – ba + b²

⇒(a – b)² = a² – ab – ab + b² (ba=ab because of commutative law)

⇒(a – b)² = a² – 2ab + b²

Hence Proved

示例问题

问题 1：使用完美公式求 (2x + y) 的平方

解决方案：

Given (2x + y)²

Using perfect square formula

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a = 2x and b = y

Put the values

(2x + y)² = ((2x)² + 2 × (2x) × (y) + (y)²)

(2x + y)² = (4x² + 4xy + y²)

The square of (2x + y) is 4x² + 4xy + y².

问题 2：使用完美平方公式化简 (5x+2y) ² 。

解决方案：

Using perfect square formula

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a = 5x and b = 2y

Put the values

(5x + 2y)² = ((5x)² + 2 × (5x) × (2y) + (2y)²)                                    

So, (5x + 2y)² = 25x² + 20xy + 4y²

问题 3：求 x ² + 4y ² + 4xy 是否是完全平方。

解决方案：

Given x² + 4y² + 4xy

Now rearranging the given expression;

x² + 4xy + 4y²

On expanding the above equation we get

((x) × (x)) + 2 × (x) × (2y) + ((2y) × (2y))

On comparing with perfect square formula, we get

(a + b)²= a² + 2ab + b²

On comparing values we get

a = x and b = 2y

So, x² + 4y² + 4xy = (x + 2y)²

Hence, x² + 4y² + 4xy is perfect square.

问题 4：评估：(99) ²

解决方案：

So, it can also be written as:

(100 – 1)²

Using perfect square formula:

(a – b)² = a² + 2ab + b²

a = 100 and b = 1

(100 – 1)² = ((100)² – 2 × (100) × (1) + (1)²

(100 – 1)² = (10000 – 200 + 1)

(100 – 1)² = (10001 – 200)

(100 – 1)² = 9801

So (99)² = 9801

问题 5：求 x ² + 4 – 4x 是否是完全平方。

解决方案：

Given x² + 4 – 4x

Rearranging the above expression;

x² – 4x + 4    

On expanding, we get

((x) × (x)) – 2 × (x) × (2) + ((2) × (2))

On comparing with perfect square formula

(a – b)² = a² – 2ab + b²

On comparing values we get

a = x and b = 2

So, x² + 4 – 4x = (x – 2)²

Hence, x² + 4 – 4x is a perfect square