整数对计数

在本题中，我们需要计算有多少个整数对 (x, y)，满足 y^2 - x^2 = z^2，其中 z 为完全平方数。

例如，当 z=1 时，要求找到所有满足 y^2-x^2=1 的整数对 (x,y)。

为了更好地描述该问题，我们可以重新排列方程，得到 (y+x)(y-x) = z^2。这说明 (y+x) 和 (y-x) 必须同为完全平方数，才能满足题意。

因此，我们可以枚举 (y+x) 和 (y-x) 的所有可能取值，统计满足条件的 (x,y) 的数目。具体地，设 i 和 j 分别为满足 i^2 = y+x 和 j^2 = y-x 的正整数，则 x = (i^2-j^2)/2，y = (i^2+j^2)/2，可以通过这种方式计算出满足条件的整数对 (x,y)。

以下是Python实现该算法的代码片段：

def count_pairs(z: int) -> int:
    """
    计算满足 y^2 - x^2 = z^2 的整数对 (x, y) 的个数。
    :param z: 完全平方数 z
    :return: 整数对的个数
    """
    cnt = 0
    for i in range(1, int(z ** 0.5) + 1):
        if z % i == 0:
            x = i + z // i
            if x % 2 == 0 and (x // 2) > i:
                cnt += 1
    return cnt

该函数接受一个整数 z 作为参数，返回满足 y^2-x^2=z^2 的整数对 (x,y) 的个数。

其中，for循环中的变量 i 在范围 (1, int(z ** 0.5) + 1) 中枚举可能的取值，如果 z 能被 i 整除，说明 i 是 y+x 和 y-x 中的一个因子，因此可以计算出对应的 j 和 x 的值，并判断 x 是否为正偶数并且是否大于 i。

最终，整数对的个数 cnt 即为统计出的满足条件的 (x,y) 的个数。

以上就是本题的详细介绍和Python实现示例。