总和为完美平方的子数组

简介

在一个整数数组中，找到一个连续的子数组，使得它们的元素总和恰好是一个完全平方数。

解决方案

暴力枚举

最朴素的想法就是枚举所有的子数组，并判断它们的和是否为完全平方数。时间复杂度为$O(n^3)$。

def isPerfectSquare(num):
    """
    判断一个数是否为完全平方数
    """
    if num < 0:
        return False
    root = int(num ** 0.5)
    return root ** 2 == num

def perfectSquareSubarray(nums):
    """
    找到一个连续的子数组，使得它们的元素总和恰好是一个完全平方数
    """
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)):
            sub_array = nums[i:j+1]
            if isPerfectSquare(sum(sub_array)):
                return sub_array
    return []

前缀和+哈希表

我们可以使用前缀和对数组进行预处理，将所有可能的子数组的和及其对应位置存储到哈希表中。然后再遍历哈希表，查找是否存在和为完全平方数的子数组。

时间复杂度为$O(n^2)$。

def perfectSquareSubarray(nums):
    """
    找到一个连续的子数组，使得它们的元素总和恰好是一个完全平方数
    """
    prefix_sum = [0] * (len(nums)+1)
    for i in range(len(nums)):
        prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + nums[i]
    
    sum_pos = {} # 哈希表，存储所有可能的子数组和及其对应位置
    for i in range(len(prefix_sum)):
        for j in range(i+1, len(prefix_sum)):
            sub_sum = prefix_sum[j] - prefix_sum[i]
            if isPerfectSquare(sub_sum):
                return nums[i:j]

            if sub_sum not in sum_pos:
                sum_pos[sub_sum] = (i, j)
                    
    for sub_sum, pos in sum_pos.items():
        if isPerfectSquare(sub_sum):
            return nums[pos[0]:pos[1]]
    
    return []

尺取法

尺取法（双指针法）可以很好地解决连续区间子数组的问题。我们使用两个指针$i$和$j$，初始都指向数组的第一个元素，然后不断移动$j$指针，当子数组的和为完全平方数时，将$i$指针向右移动以缩小子数组。

时间复杂度为$O(n)$。

def perfectSquareSubarray(nums):
    """
    找到一个连续的子数组，使得它们的元素总和恰好是一个完全平方数
    """
    prefix_sum = [0] * (len(nums)+1)
    for i in range(len(nums)):
        prefix_sum[i+1] = prefix_sum[i] + nums[i]
    
    sum_pos = {} # 哈希表，存储所有可能的子数组和及其对应位置
    res = []
    i, j = 0, 0
    while j < len(nums):
        sub_sum = prefix_sum[j+1] - prefix_sum[i]
        if isPerfectSquare(sub_sum):
            res = nums[i:j+1]
            j += 1
            i += 1
        elif sub_sum > 0:
            j += 1
        else:
            i += 1
            
    return res

结论

以上三种方法都能够找到一个连续的子数组，使得它们的元素总和恰好是一个完全平方数。但是它们的时间复杂度不同，其中尺取法是最优的，时间复杂度为$O(n)$。