总和为完全平方的子数组的计数

问题描述

给定一个整数数组 nums，请找出总和为完全平方数的非空子数组的数量。

举例

输入: nums = [1, 4, 2, 3, 0, 1] 输出: 5 解释: 有以下5个子数组的总和为完全平方数:

• [1]
• [1, 4, 2, 3]
• [4]
• [4, 2]
• [0]

解法

将问题转化为：以i结尾的子数组中，有多少个子数组的总和为完全平方数。

因为子数组的长度至少是1，所以以i结尾的子数组中，总有至少一种满足要求的子数组。因此答案即为所有刚好为完全平方数的前缀和个数之和。

我们可以用一个哈希表记录所有前缀和中，值为完全平方数的个数。对于每个前缀和，我们可以用该前缀和减去一个完全平方数，得到一个新的数n，查询哈希表中值为n的元素，即可得到以i结尾的子数组中，总和为完全平方数的数量。同时，我们也需要将当前前缀和在哈希表中的出现次数加1。

def countSubarrays(nums):
    n = len(nums)
    prefix_sum = [0] * n
    prefix_sum[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + nums[i]

    ans = 0
    square_set = set([i * i for i in range(int(n ** 0.5) + 1)])
    count_map = {0: 1}
    for s in prefix_sum:
        for square in square_set:
            if s - square in count_map:
                ans += count_map[s - square]
        if s in count_map:
            count_map[s] += 1
        else:
            count_map[s] = 1
    return ans

思路

1. 我们首先需要将问题转化为：以i结尾的子数组中，有多少个子数组的总和为完全平方数。
2. 我们使用哈希表记录所有前缀和中，值为完全平方数的个数。
3. 对于每个前缀和，我们可以用该前缀和减去一个完全平方数，得到一个新的数n，查询哈希表中值为n的元素，即可得到以i结尾的子数组中，总和为完全平方数的数量。
4. 同时，我们也需要将当前前缀和在哈希表中的出现次数加1。最终答案即为所有刚好为完全平方数的前缀和个数之和。

复杂度分析

时间复杂度：$O(n\sqrt{n})$，其中n为nums数组的长度。因为我们需要对每个前缀和进行判断，而每个前缀和最多有sqrt(n)个可能的完全平方数分量。

空间复杂度：$O(n)$，我们使用了一个哈希表来存储每个前缀和中，值为完全平方数的个数。