求第n个项为n^2 – (n-1)^2的级数之和

本文将介绍如何通过编程来计算级数$n^2 – (n-1)^2$的前n项和。我们将使用Python这个编程语言来实现此任务。

问题分析

首先，我们需要明确我们要解决的问题。我们需要编写一个函数，该函数接收一个整数n作为参数，并返回n个项的和，其中每个项都是$n^2 – (n-1)^2$。

因此，我们可以表示级数如下：

$S = (1^2 – 0^2) + (2^2 – 1^2) + (3^2 – 2^2) + … + (n^2 – (n-1)^2)$

化简后得到：

$S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 – 0^2 – 1^2 – 2^2 – … – (n-1)^2$

可以将$0^2 + 1^2 + 2^2 + … + (n-1)^2$看成另一个级数的和，而这个级数的通项公式是$k^2$，其中k的取值范围是0到n-1。因此，可以用以下公式来计算这个级数的和：

$0^2 + 1^2 + 2^2 + … + (n-1)^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

将这个式子代入我们的级数中，可以得到：

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} – \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

化简可以得到：

$S = \frac{n(3n^2 + 3n + 1)}{3}$

因此，我们需要编写的函数就是该式的实现。

代码实现

下面是实现通过公式来计算级数和的Python代码：

def sum_of_series(n):
    """
    计算级数n ^ 2 – (n-1)^ 2的前n项和

    Parameters:
        n (int): 要计算的级数的项数

    Returns:
        float: 级数的和
    """
    return n * (3 * n**2 + 3 * n + 1) / 3

使用示例

下面是对上述代码的使用示例：

>>> sum_of_series(5)
65.0

>>> sum_of_series(10)
385.0

总结

通过使用公式来计算级数的和可以提高计算速度，同时也能够减少出错的可能性。因此，在编程时，我们应该尝试找到公式来计算问题，而不是采用直接计算的方式来解决问题。