总和等于 X 的子集计数

在计算机算法中，如果需要找到一个数组中所有和为固定值 X 的子集，我们可以使用“背包问题”的思路来解决。具体实现方式如下：

动态规划解法

我们可以用 DP 数组来表示所有子集和的情况。假设 nums 数组有 n 个元素，target 是我们要找的目标和。那么 dp[i][j] 就表示前 i 个元素中选取若干个元素，其和为 j 的方案数。

状态转移方程为：

• 如果不选第 i 个元素，则有 dp[i-1][j] 种方案；
• 如果选第 i 个元素，则需要在前 i-1 个元素中选取若干个元素，使得其和为 j - nums[i-1]。总方案数为 dp[i-1][j-nums[i-1]]。

因此，dp[i][j] 的值应该等于这两种情况的方案总数之和，即：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]]

最终，我们需要返回 dp[n][target]，其中 n 是 nums 数组的长度。

def count_subset_sum(nums, target):
    n = len(nums)
    dp = [[0]*(target+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1 # 如果目标和为 0，只有一种方案
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(target+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= nums[i-1]:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-nums[i-1]]
    return dp[n][target]

状压 DP 解法

我们可以通过状压 DP 的方式，只使用一个一维数组来表示所有子集和的情况。

具体实现方式如下：

将所有的子集表示成一个二进制数（其中第 i 位表示是否包含 nums[i] 这个元素），则可以得到一个长度为 2^n 的数组 all_subset。

遍历 all_subset 数组中的所有子集，将各个子集中包含的数字相加，得到该子集的和 sum。然后更新一个长度为 target+1 的数组 count，count[i] 表示和为 i 的子集的数量。具体来说，更新方式为：

如果 all_subset[j] 包含 nums[i]，则 count[sum+nums[i]] += count[sum]

因此，我们需要先遍历 nums 数组，再遍历 all_subset 数组。

最终，我们返回 count[target]。

def count_subset_sum(nums, target):
    n = len(nums)
    all_subset = [1 << i for i in range(n)]
    count = [0] * (target+1)
    count[0] = 1 # 和为 0，只有一种方案
    for i in range(n):
        for j in range(1 << i):
            sum = 0
            for k in range(i):
                if j & all_subset[k]:
                    sum += nums[k]
            if j & all_subset[i]:
                count[sum+nums[i]] += count[sum]
    return count[target]

时间复杂度分析

以上两种解法的时间复杂度都为 O(n*target)，其中 n 是 nums 数组的长度，target 是目标和。

参考资料

• LeetCode 494. Target Sum
• 背包问题