总和小于 Array 总和的子集计数

在面试中，有时候会被要求计算一个数组中总和小于数组总和的子集的数量。这可能是一道看起来很难的问题，但是我们可以用动态规划来解决。

解决方法

假设数组为nums，总和为sum。我们可以用一个dp数组来表示在前i个元素中总和不超过j的子集数量。例如，dp[i][j]表示前i个元素中总和不超过j的子集数量。

我们可以使用以下状态转移方程：

• 如果nums[i-1] > j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。即当前元素太大，无法加入到当前子集中。

• 否则，我们可以选择将其加入或不加入到当前子集中：

  • 如果加入，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i-1]]。即我们将当前元素加入子集中，那么子集总和可以是前i-1个元素中总和不超过j-nums[i-1]的子集数量。
  • 如果不加入，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]。即当前元素不加入子集中，那么子集总和可以是前i-1个元素中总和不超过j的子集数量。

因此，我们可以通过以上状态转移方程计算出dp数组。最终，答案就是dp[n][0]+dp[n][1]+...+dp[n][sum/2]。因为子集总和小于sum/2的子集和子集总和大于sum/2的子集互为补集，所以只需要计算一半。

代码实现

def count_subsets(nums):
    n = len(nums)
    s = sum(nums)
    if s % 2 == 1:
        return 0
    sum_half = s // 2
    dp = [[0] * (sum_half + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, sum_half + 1):
            if nums[i - 1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]]
    return dp[n][sum_half]

性能分析

由于要遍历整个nums数组，并且子集数量可能会很多，因此时间复杂度为O(n * sum/2)，其中n是数组长度，sum是数组总和。空间复杂度同样为O(n * sum/2)，我们可以使用滚动数组将其优化为O(sum/2)。