使用 Set 的总和小于或等于给定总和的最大总和子数组

在一些算法问题中，需要找出一个数组中的子数组，使得这个子数组的总和小于或等于给定的某个值，但是从这些子数组中选择一个最大的子数组。这个问题可以很容易地通过使用 Set 来解决。

算法

我们可以通过维护一个 Set，来记录当前访问的位置的前缀和。然后我们可以通过跨过这个 Set 中的值的方式，来选出一个满足条件的最大子数组。

具体的做法是从头开始扫描数组，同时在每个位置上维护当前扫描到的前缀和。如果这个前缀和与目标总和的差不在 Set 中，我们就连续地跳过这些数。如果这个前缀和与目标总和的差已经在 Set 中出现过了，我们就将当前前缀和与那个出现过的前缀和之间的所有数连续地跳过。这个过程可以通过使用双指针实现，具体见下面的代码。

代码

def max_subarray_sum(arr, target):
    n = len(arr)
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + arr[i - 1]
    s = set([0])
    i = j = res = 0
    while i < n:
        while j < n and prefix_sum[j + 1] - prefix_sum[i] <= target:
            j += 1
            s.add(prefix_sum[j] - prefix_sum[i])
        s.remove(prefix_sum[j] - prefix_sum[i])
        res = max(res, j - i)
        i += 1
    return res

时间复杂度

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。这是因为我们在数组上使用一次双指针，双指针的移动次数是 $O(n)$ 的。

空间复杂度

这个算法的空间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。这是因为我们需要额外使用一个数组来储存前缀和，数组的长度为 $n+1$，以及一个 Set 来储存前缀和的差距，最坏情况下 Set 的长度也为 $n$。