总和小于数组总和的子序列计数

介绍

给定一个数组，我们可以找到每个子序列的总和。现在，问题是找到子序列总和小于数组总和的子序列的数量。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5]，它的总和为 15。对于这个数组，有 2^5 种子序列。然而，在这些子序列中，有许多子序列的总和大于或等于 15。因此，我们的目标是找到总和小于 15 的子序列的数量。

算法

这个问题可以用动态规划来解决。 我们定义 dp[i][j] 为考虑前 i 个元素并且总和不超过 j 的子序列数量。因此，dp[n][sum] 就是我们要找的子序列数量，其中 n 是数组长度，sum 是数组总和。

状态转移方程如下：

if (arr[i-1] > j) {
    dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-arr[i-1]];
}

其中，arr[i-1] 表示第 i 个元素，j 表示子序列的总和。

代码实现

int countSubsequences(int arr[], int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += arr[i];
    }

    int dp[n+1][sum+1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));

    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= sum; j++) {
            if (arr[i-1] > j) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-arr[i-1]];
            }
        }
    }

    int ans = 0;

    for (int j = 1; j <= sum; j++) {
        if (j < sum - j) {
            ans += dp[n][j];
        }
    }

    return ans;
}

性能分析

• 时间复杂度：O(n*sum)
• 空间复杂度：O(n*sum)

其中，n 是数组长度，sum 是数组总和。

因此，该算法的时间复杂度和空间复杂度都是比较高的，对于大型数据集可能并不适用。