总和是数组大小倍数的最小子数组

介绍

在编程中，我们经常遇到需要在给定的数组中找到满足特定条件的子数组的问题。在这个问题中，我们需要找到数组中总和是数组大小的倍数的最小子数组。

问题描述

给定一个整数数组 nums，我们需要找到一个最小的非空连续子数组，使得该子数组的元素总和是数组大小的倍数。

解决方案

一种简单的解决方案是遍历所有可能的子数组，计算它们的总和，并检查是否满足条件。但这种方法的时间复杂度为O(n^2)，不是最优解。下面我们介绍一种更高效的解决方案。

前缀和和模运算

我们可以借助前缀和数组来解决这个问题。设 prefixSum[i] 表示数组 nums 的前 i 个元素的总和。则对于任意的连续子数组 nums[i:j] 的总和可以通过如下公式计算得到：

sum(nums[i:j]) = prefixSum[j] - prefixSum[i-1]

要找到总和是数组大小的倍数的最小子数组，我们只需要在 prefixSum 数组中找到两个索引 i 和 j，使得上述公式成立。也就是说，我们要找到满足如下条件的索引对 (i, j)：

(prefixSum[j] - prefixSum[i-1]) % n == 0

其中 n 是数组 nums 的大小。

哈希表

为了高效地找到满足条件的索引对 (i, j)，我们可以使用一个哈希表来存储每个前缀和对应的最小索引。具体步骤如下：

1. 初始化哈希表 hashMap 和前缀和变量 prefixSum = 0。
2. 在哈希表中插入 (0, -1) 键值对，表示前缀和为 0 的索引是 -1。
3. 遍历数组 nums，对于每个索引 i，执行以下操作：
   • 将当前元素加到前缀和 prefixSum 中：prefixSum += nums[i]。
   • 计算当前前缀和对数组大小的模运算结果：remainder = prefixSum % n。
   • 如果哈希表中存在 remainder 键，则更新最小索引：minIndex = min(minIndex, hashMap[remainder])。
   • 在哈希表中插入 (remainder, i) 键值对，如果当前键已存在，则会更新对应的值。
4. 返回结果：nums[minIndex+1: i+1]，即满足条件的最小子数组。

代码示例

def findMinSubarray(nums):
    n = len(nums)
    hashMap = {0: -1}
    prefixSum = 0
    minIndex = float('inf')

    for i in range(n):
        prefixSum += nums[i]
        remainder = prefixSum % n

        if remainder in hashMap:
            minIndex = min(minIndex, hashMap[remainder])

        hashMap[remainder] = i

    return nums[minIndex+1: i+1]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的大小。我们只需要遍历一次数组即可。
• 空间复杂度：O(n)，需要使用哈希表来存储每个前缀和对应的最小索引。

总结

通过利用前缀和和模运算，我们可以在线性时间内找到总和是数组大小倍数的最小子数组。这是一个常见的数组问题，解决方法非常巧妙，可以在实际编程中得到应用。