计数将数组拆分为两个子集的方法，它们的总和等于 K

介绍

给定一个整数数组 nums 和一个整数 K，可以将 nums 拆分成两个非空子集，使得它们的元素和相等，并且每个元素只能属于一个子集。编写一个函数来判断是否可以按上述方式分割数组。

思路

这个问题可以被转换为：在数组 nums 中选取一些元素，使得它们的和等于 K。

我们可以使用 01 背包 算法来解决。使用一个数组 dp[i][j]，表示前 i 个元素中选取一些元素的和等于 j 是否成立。转移方程为：

• 如果 j>=nums[i]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i]]
• 如果 j<nums[i]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]

也就是说，对于第 i 个元素，可以选择不取或取。当 j<nums[i] 时，第 i 个元素无法取，只能不取。而当 j>=nums[i] 时，第 i 个元素可以取或不取。

数组的最终状态为 dp[n][K]，表示前 n 个元素中选取一些元素的和为 K 是否成立。

代码实现

def canPartition(nums: List[int], K: int) -> bool:
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return False
    if sum(nums) % 2 != 0:
        return False
    target = sum(nums) // 2
    dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][0] = True
    for j in range(1, target + 1):
        if nums[0] == j:
            dp[0][j] = True
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, target + 1):
            if j >= nums[i]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    return dp[n - 1][target]

性能分析

• 时间复杂度：O(nK)
• 空间复杂度：O(nK)

总结

• 将问题转换为“在数组中选取一些元素的和为 K 是否成立”
• 使用动态规划解决问题
• 时间复杂度为 O(nK)，空间复杂度为 O(nK)
• 代码实现很简单，只需要按照转移方程写出二维数组的循环即可