总和等于 N 的最小阶乘数

有时候我们会需要找到一组数的阶乘的最小乘积，使得它们的总和等于给定的 N。此时我们可以使用贪心算法来尽可能地使用大的数。

算法思路

1. 初始化阶乘数组 factorials 和数字数组 digits。
2. 从最大的阶乘开始，将其除以 N 计算出当前数字需要的个数，并将结果添加到 digits 数组中。
3. 将 N 减去当前数字所对应的总和。
4. 如果 N 等于 0，则表示找到了一组符合条件的数字组合。
5. 如果 N 小于 0，则说明当前的数字太大，需要尝试较小的数字。
6. 重复以上步骤直到找到最佳解为止。

代码实现

def find_min_factorials_sum(N):
    factorials = [1, 1]  # 阶乘数组
    digits = []  # 数字数组
    i = 2
    while factorials[-1] < N:
        factorials.append(i * factorials[-1])  # 计算阶乘
        i += 1

    for f in reversed(factorials):  # 从大到小循环
        digit = N // f  # 当前数字个数
        digits.append(digit)
        N -= digit * f
        if N == 0:
            break

    if N != 0:
        return -1  # 找不到解

    ans = 0
    for i, d in enumerate(digits):
        ans += (i + 1) * d  # 总和乘以对应的数字
    return ans

时间复杂度

该算法使用了贪心算法，时间复杂度为 $O(\log N)$。