总和等于乘积的数组中的对数

在编程中，我们经常需要处理数组的问题。其中一个有趣的问题就是找到一个数组中总和等于乘积的数字对。这个问题的解决方法与算法有很多种，接下来本文将介绍几种解决方法。

方法一：暴力枚举

对于数组中的每一个数字，我们可以遍历其他数字，查看它们的和是否等于它们的积。这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，实际上不适用于大型数组。下面是一个使用暴力枚举的解决方法的 Python 代码：

def find_products(nums):
    res = []
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            if nums[i] + nums[j] == nums[i] * nums[j]:
                res.append((nums[i], nums[j]))
    return res

方法二：使用哈希表

我们可以使用哈希表来存储已查找过的数字，这样可以避免一些重复的计算。时间复杂度为$O(n)$，需要额外的空间来存储哈希表。下面是一个使用哈希表的 Python 代码：

def find_products(nums):
    res = []
    visited = set()
    for num in nums:
        if num == 0 or num == 1:
            continue
        if num in visited:
            res.append((num, num))
        else:
            visited.add(num)
        for i in range(2, num):
            if num % i == 0 and num // i not in visited:
                visited.add(num // i)
                res.append((i, num // i))
    return res

方法三：使用数学推导

我们可以观察到，一个数字对 $(a, b)$ 满足 $a+b=ab$ 条件时，其中 $a$ 和 $b$ 必定是方程 $x^2-x-(a+b)=0$ 的解。因此只需求得方程的解，即可得到所有符合条件的数字对。时间复杂度为$O(n)$，不需要额外的空间。下面是一个使用数学推导的 Python 代码：

import math

def find_products(nums):
    res = []
    for num in nums:
        if num == 0 or num == 1:
            continue
        delta = 1 + 4 * num
        if delta < 0:
            continue
        root1 = (1 + math.sqrt(delta)) / 2
        root2 = (1 - math.sqrt(delta)) / 2
        if root1.is_integer() and num // root1 != root1:
            res.append((int(root1), num // int(root1)))
        if root2.is_integer() and num // root2 != root2:
            res.append((int(root2), num // int(root2)))
    return res

结论

以上三种方法都可以找出数组中总和等于乘积的数字对，其中数学推导法具有最优的时间复杂度，最少的代码量以及最少的空间需求。