总和为 2 的幂的对数

在计算机科学中，总和为 2 的幂的对数是一种非常常见的问题。它通常涉及到对两个数的比较并确定它们是否是2的幂次方，并将其累加。

总和为 2 的幂的对数的定义

总和为 2 的幂的对数是指给定一个正整数n，求1到n中所有2的幂次方的和。换句话说，对于所有的k (0<=k<=log2(n)) ，求出2k的总和。

例如，当n=10时，我们需要求的是1+2+4+8=15。

解决方案

方法一：暴力计算

该方法的思路很简单，即使用一个循环计算1到n的所有数字并确定它们是否是 2 的幂次方。如果是，就将它们相加。

def sum_of_powers_of_two(n):
    sum = 0
    for i in range(n+1):
        if (i and not(i & (i - 1))): # 判断是否为 2 的幂次方
            sum += i
    return sum

该方法的时间复杂度为 O(nlogn)，因为我们需要检查每个数字是否为2的幂次方。

方法二：使用位运算

该方法基于一个事实：如果一个数字是2的幂次方，那么它的二进制表示中只有一位为 1 。因此，我们可以使用位运算来检查一个数字是否是2的幂次方：

def sum_of_powers_of_two(n):
    sum = 0
    i = 1
    while i <= n:
        if (n & i): # 判断 i 是否出现在 n 的二进制表示中
            sum += i
        i <<= 1 # i 左移一位，相当于乘以 2
    return sum

该方法的时间复杂度为 O(logn)，因为在 i 变量的每个循环迭代中，我们只需将 n 中的一位与 1 进行比较。

总结

总和为 2 的幂的对数是一个常见问题，通常需要开发者在时间和空间的限制下找到最优解。在给定一个数字n时，我们可以通过使用暴力计算或位运算的方式来解决该问题。 对于大多数情况下，位运算的时间复杂度低于暴力计算，因此使用位运算 是一个更好的选择。