对数

对数函数是指数函数的逆函数。以b为底的对数是b的幂必须乘以b以产生给定的数字。例如， $\log_2 8$等于要产生8的2必须提高到的幂。显然，2 ^ 3 = 8因此$\log_2 8$ =3。通常，对于b> 0且b不等于1。

关于对数的事实：

1. 由于各种有用的特性简化了冗长而繁琐的计算，对数很快被科学家采用。
2. 以10为底的对数(即b = 10)被称为常用对数，在科学和工程学中有许多应用。
3. 自然对数，是以e为底的对数。由于其更简单的导数，因此被用于数学和物理学。
4. 二进制对数是一个以2为底的对数，通常用于计算机科学。

对数定律：

Laws	Description
$\log_a bc$	$\log_a b$ + $\log_a c$
$\log_a b/c$	$\log_a b$ – $\log_a c$
$\log_a b^c$	$c\log_a b$
$\log_a 1/b$	$-\log_a b$
$\log_a 1$	$0$
$\log_a a$	$1$
$\log_a a^r$	$r$
$\log_a b$*$\log_b c$	$\log_a c$
$\log_b a$	$1/\log_a b$

如何找到数字的对数?

天真的解决方案：
这个想法是创建一个函数来计算并返回$\log_2 n$ 。例如，如果n = 64，则您的函数应返回6；如果n = 129，则您的函数应返回7。

C

// C program to find log(n) using Recursion
#include 
  
unsigned int Log2n(unsigned int n)
{
    return (n > 1) ? 1 + Log2n(n / 2) : 0;
}
  
int main()
{
    unsigned int n = 32;
    printf("%u", Log2n(n));
    getchar();
    return 0;
}

Java

// Java program to find log(n)
// using Recursion
class Gfg1 {
  
    static int Log2n(int n)
    {
        return (n > 1) ? 1 + Log2n(n / 2) : 0;
    }
  
    // Driver Code
    public static void main(String args[])
    {
        int n = 32;
        System.out.println(Log2n(n));
    }
}

Python3

# Python 3 program to
# find log(n) using Recursion
  
def Log2n(n):
  
    return 1 + Log2n(n / 2) if (n > 1) else 0
  
# Driver code
n = 32
print(Log2n(n))

C#

// C# program to find log(n)
// using Recursion
using System;
  
class GFG {
  
    static int Log2n(int n)
    {
        return (n > 1) ? 1 + Log2n(n / 2) : 0;
    }
  
    // Driver Code
    public static void Main()
    {
        int n = 32;
  
        Console.Write(Log2n(n));
    }
}

PHP

 1) ? 1 + Log2n($n / 2) : 0;
}
  
// Drive main
  
    $n = 32;
    echo Log2n($n);
?>

输出 ：

5

时间复杂度： O(log n)
辅助空间：如果在递归过程中考虑堆栈大小，则为O(log n)，否则为O(1)

高效的解决方案：

• 使用内置日志函数

对数的练习题：

问题1：在给定8 ^{x + 1} – 8 ^x-1 = 63的方程式中找到x的值
解决方案：从等式中取8 ^x-1的公共点。
减少到
8 ^x-1 (8 ² – 1)= 63
8 ^x-1 = 1
因此，x – 1 = 0
x = 1

问题2：找到等式的x值。给定日志_0.25 x = 16
解决方案：日志_0.25 x = 16
可以写成
x =(0.25) ¹⁶
x =(1/4) ¹⁶
x = 4 ^-16

问题3：求解方程式log ₁₂ 1728 x log ₉ 6561
解决方案：可以写成
日志₁₂ (12 ³ )x日志₉ (9 ⁴ )
= 3log ₁₂ 12 x 4log ₉ 9
= 3 x 4 = 12

问题4：解决x
日志_x 3 +日志_x 9 +日志_x 27 +日志_x 81 = 10

解决方案：可以写成
对数_x (3 x 9 x 27 x 81)= 10
对数_x (3 ¹ x 3 ² x 3 ³ x 3 ⁴ )= 10
对数_x (3 ¹⁰ )= 10
10日志_x 3 = 10
然后，x = 3

问题5：如果log(a + 3)+ log(a – 3)= 1 ，则a =?
解决方案：日志₁₀ ((a + 3)(a – 3))= 1
对数₁₀ (a ² – 9)= 1
(a ² – 9)= 10
² = 19
a =√19

问题6：解决1 / log _ab (abcd)+ 1 / log _bc (abcd)+ 1 / log _CD (abcd)+ 1 / log _da (abcd)
解决方案：
=日志_abcd (ab)+日志_abcd (bc)+日志_abcd (cd)+日志_abcd (da)
= log _abcd (ab * bc * cd * da)
=日志_abcd (abcd) ²
= 2日志_abcd (abcd)
= 2

问题7：如果xyz = 10，则求解log(x ⁿ y ⁿ / z ⁿ )+ log(y ⁿ z ⁿ / x ⁿ )+ log(z ⁿ x ⁿ / y ⁿ )
解决方案：
log(x ⁿ y ⁿ / z ⁿ * y ⁿ z ⁿ / x ⁿ * z ⁿ x ⁿ / y ⁿ )
= log x ⁿ y ⁿ z ⁿ
= log(xyz) ⁿ
=日志₁₀ 10 ⁿ
= n

问题8：查找(121/10) ^x = 3
解决方案：在两边都应用对数
对数_(121/10) (121/10) ^x =对数_(121/10) 3
x =(log 3)/(log 121 – log 10)
x =(对数3)/(2对数11 – 1)

问题9：求解log(2x ² + 17)= log(x – 3) ²
解决方案：
log(2x ² + 17)=对数(x ² – 6x + 9)
2x ² + 17 = x ² – 6x + 9
x ² + 6x + 8 = 0
x ² + 4x + 2x + 8 = 0
x(x + 4)+ 2(x + 4)= 0
(x + 4)(x + 2)= 0
x = -4，-2

问题10： log ₂ (33 – 3 ^x )= 10 ^{log(5 – x)} 。解决x。
解决方案：放x = 0
对数₂ (33 – 1)= 10^对数(5)
对数₂ 32 = 5
5 log ₂ 2 = 5
5 = 5
LHS = RHS

与对数有关的更多问题：

• 查找计算对数N所需的最小对数值
• 在给出x和y的x ^(y ^ 2)或y ^(x ^ 2)中找到最大值
• 打印数字的所有子字符串，无需任何转换
• 程序比较m ^ n和n ^ m
• 查找较大的x ^ y和y ^ x

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