将前N个自然数的平方分成两组，且总和的绝对差最小

问题描述

将前$N$个自然数的平方$(1^2,2^2,...,N^2)$分成两组，使得两组的和的绝对差最小。

解决方案

思路

我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。设$dp[i][j]$表示前$i$个数中选择$j$个数所能得到的最小的绝对差，则有以下两种情况：

• 第$i$个数不选，则$dp[i][j]=dp[i-1][j]$
• 第$i$个数选，则$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+(i^2)$

最终答案为$dp[N][N/2]$。

代码实现

def min_abs_diff(N):
    # 初始化二维数组
    dp = [[0] * (N // 2 + 1) for _ in range(N + 1)]
    # 动态规划
    for i in range(1, N + 1):
        for j in range(1, min(i, N // 2) + 1):
            if j == 1:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + i ** 2
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + i ** 2)
    # 返回结果
    return dp[N][N // 2]

# 示例
if __name__ == '__main__':
    print(min_abs_diff(5)) # 输出5

复杂度分析

算法的时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(N^2)$。由于二维数组的空间较大，我们可以将其进行优化，只使用一维数组来存储动态规划状态，这样可以将空间复杂度降至$O(N)$，时间复杂度仍为$O(N^2)$。