将1到n分为两组，且总和差异最小

问题描述

给定一个正整数n，将1到n的数分为两组，使得这两组的数字总和的差异最小。

解决方案

使用动态规划来解决这个问题。

1. 令dp[i][j]表示前i个数中选出一些数，它们的和恰好为j，其中i<=n，j<=[1, n*(n+1)/2]/2
2. 状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-i], 其中”||”表示逻辑或
3. 初始值为dp[0][0] = true, dp[i][0] = true，因为选出一些数和为0是一定可以的

最终选取的结果为: sum - 2*j

详细解释可以看下面的代码实现。

def min_diff(n):
    """
    :param n: int
    :return: int
    """
    if n < 2:
        return 0

    # 计算总和
    sum = n * (n + 1) // 2
    half_sum = sum // 2
    # 初始化dp数组
    dp = [[False] * (half_sum + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = True

    # 递推填表
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = True
        for j in range(1, half_sum + 1):
            if j >= i:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - i]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]

    # 找出最终的结果
    j = half_sum
    while not dp[n][j]:
        j -= 1

    return sum - 2 * j

总结

这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n^2)。

当n比较大时，可能会导致超时或超出空间限制。可以使用状态压缩来减少空间复杂度，但同时会增加时间复杂度，代码也相对复杂。

需要根据具体场景来选择使用哪种算法。