将N个自然数分成两个总和大于1的GCD

简介

给定N个自然数，任务是将其分成两组，使得这两组中各自的数的和的最大公约数大于1。本文将介绍如何用代码实现这一任务。

解题思路

首先我们需要知道如何判断两个数的最大公约数是否大于1。最大公约数可以用欧几里得算法来求解，即：

int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) {
    return a;
  }
  return gcd(b, a % b);
}

如果我们已经将N个自然数分成两组，那么我们可以分别计算这两组数字的和，然后用欧几里得算法求解这两个和的最大公约数。如果这个最大公约数大于1，那么我们就成功找到了一组解。

现在的问题是如何将N个自然数分成两组。一种简单的方法是使用回溯算法。具体来说，我们可以对每个数字都有两种选择：将其放入第一组中或者将其放入第二组中。我们用一个变量sum1来表示第一组数字的和，sum2来表示第二组数字的和。每次处理一个数字时，都需要分别计算两种情况下的新的sum1和sum2，然后深度优先搜索这两种情况下的结果。

更详细的代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool dfs(int idx, vector<int>& nums, int sum1, int sum2) {
  if (idx == nums.size()) {
    return gcd(sum1, sum2) > 1;
  }
  if (dfs(idx + 1, nums, sum1 + nums[idx], sum2)) {
    return true;
  }
  if (dfs(idx + 1, nums, sum1, sum2 + nums[idx])) {
    return true;
  }
  return false;
}

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> nums(n);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> nums[i];
  }
  if (dfs(0, nums, 0, 0)) {
    cout << "YES" << endl;
  } else {
    cout << "NO" << endl;
  }
  return 0;
}

我们传入的参数为idx表示目前正在处理的数字的下标，nums表示所有的待处理数字，sum1表示第一组数字的和，sum2表示第二组数字的和。在dfs函数中，如果sum1和sum2的最大公约数大于1了，那么我们就返回true表示找到了一组符合要求的解。在递归的过程中，我们分别考虑将当前数字放入第一组或第二组的情况，递归下去即可。

思考题

假设你已经找到了一组符合要求的解，怎样才能找到所有的符合要求的解呢？请提供一种解决思路，并给出代码实现。