立方和公式

将任意两个多项式 a ³ + b ³相加时使用立方和公式。在求解各种代数方程时，这个因式分解公式很有帮助。这个公式也很容易记住，可以在几分钟内完成。它的工作方式与立方公式中的差异类似。讨论如下。

立方和

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

where, a and b are any two given variables.

证明

LHS = a³ + b³

RHS = (a + b)(a² – ab + b²)

Using the distributive property of multiplication, we have:

RHS = a(a² – ab + b²)) + b(a² – ab + b²)

= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³

= a³ – a²b + a²b + ab² – ab² + b³

= a³ – 0 + 0 + b³

= a³ + b³

= LHS

Hence proved.

示例问题

问题 1：使用立方和分解 343a ³ + 216。

解决方案：

343a³ + 216 = (7a)³ + (6)³

Since, a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

(7a)³ + (6)³ = (7a + 6)[(7a)² – (7a)(6) + (6)²]

= (7a + 6)[49a² – 42a + 36]

问题 2：使用立方和分解 8p ³ + 27。

解决方案：

8p3 + 27 = (2p)3 + (3)3

Since, a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

(2p)3 + (3)3 = (2p + 3)[(2p)2 – (2p)(3) + (3)2]

= (2p + 3)[4p² – 6p + 9]

问题 3：使用立方和分解 27t ³ + 125。

解决方案：

27t³ + 125 = (3t)³ + (5)³

Since, a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

(3t)³ + (5)³ = (3t + 5)[(3t)² – (3t)(5) + (5)²]

= (3t + 5)[9t² – 15t + 25]

问题 4：使用立方和来分解 64s ³ + 125。

解决方案：

64s³ + 125 = (8s)³ + (5)³

Since, a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

(8s)³ + (5)³ = (8s + 5)[(8s)² – (8s)(5) + (5)²]

= (8s + 5)[64s² – 40s + 25]

问题 5：使用立方和公式分解 512 + 729v ³ 。

解决方案：

512 + 729v³ = (8)³ + (9v)³

Since, a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

(8)³ + (9v)³ = (8 + 9v)[(8)² – (8)(9v) + (9v)²]

= (8 + 9v)[64 – 72v + 729v²]