具有至少 k 个远距离元素的最大和子序列

在一个包含 n 个元素的数组中，我们可以选择其中的任意一段连续子序列，并求其元素的和。但是，在实际场景中，我们可能还需要在选定的子序列中满足某些特定的要求，比如具有至少 k 个远距离元素，即序列中相邻元素的间距必须大于等于 k。

这种情况下，我们可以使用动态规划的方法来解决问题。具体来说，我们定义 dp[i][j] 表示选取以第 i 个元素为结尾、包含 j 个远距离元素的最大和子序列的和。那么，我们可以得到如下的状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-k][j-1] + sum[i]-sum[i-k])，其中 1 <= k < i-k 且 j-1 <= i-k-k

其中 sum 数组表示前缀和，即 sum[i] 表示前 i 个元素的和。这个方程的意思是，如果我们要把第 i 个元素纳入最大和子序列中，那么它的前一个元素就必须与它之间隔至少 k 个元素，因此我们需要从前 i-k 个元素中选择 j-1 个远距离元素，然后再加上第 i-k 到第 i 个元素之间的和，就可以得到以第 i 个元素为结尾、包含 j 个远距离元素的最大和子序列的和。

最后，我们只需要枚举所有的 i 和 j，找到其中满足 ≥k 的 dp[i][j] 的最大值，就是题目所要求的最大和子序列。

以下是 Python 代码实现：

def max_sum_subsequence_with_k_distant_elements(nums, k):
    n = len(nums)
    sum = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1]
    
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(k+1)]

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            for p in range(1, i-j+2):
                if p-1 + (j-1) * k < i-1:
                    dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[j-1][p-1] + sum[i]-sum[p-1])
    
    result = float('-inf')
    for i in range(k, n+1):
        result = max(result, dp[k][i])
    
    return result

以上的代码中，我们使用了一个 sum 数组来保存前缀和，这样我们就可以通过 sum[i]-sum[p-1] 来快速计算出第 p 到第 i 个元素之间的和。

另外，由于我们需要从前 i-k 个元素中选出 j-1 个远距离元素，因此在内层循环中，我们需要使用 p-1 代替 p，以确保 p-1 和 i-k 之间隔了 k 个元素。

最后，我们在循环结束后，从所有的 dp[k][i] 中选出一个最大值返回即可。

复杂度分析

由于本题中有三层循环，因此时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2k)$。

空间方面，我们需要一个长度为 n+1 的前缀和数组，和一个大小为 $(k+1)\times(n+1)$ 的二维数组来保存状态，因此空间复杂度为 $\mathcal{O}(nk)$。

参考资料

• LeetCode 1235. Maximum Profit in Job Scheduling 题解