具有至少 k 个数字的最大和子数组

在开发中，我们经常需要找到一段连续的子数组中和最大的子数组。但是，有时候我们需要寻找的是一个至少包含 k 个数字的子数组的最大和。这个问题与最大连续子数组和问题略有不同，但是可以使用类似的动态规划思想来解决。

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，找到一个具有至少 k 个数字的连续子数组，使得所有这些数字的和最大。返回这个子数组的最大和。

示例：

输入: nums = [10,2,-10,5,20], k = 2
输出: 37
解释: 子数组为 [10, 2, -10, 5, 20]，连续数字为 [10, 2] 和 [5, 20]，取两个子数组的和最大为37。

解决思路

类似于最大连续子数组和问题，我们可以使用动态规划来解决。假设我们已知长度为 i 的子数组的最大和为 f[i]，那么对于长度为 i+1 的子数组 nums[0:i+1]，它的最大和可以由两部分得到：

1. 包含最后一个元素 nums[i+1] 的子数组的最大和（该子数组的长度必须大于等于 k-1）。
2. 不包含最后一个元素 nums[i+1] 的子数组的最大和（该子数组的长度可以小于 k-1）。

因此我们可以得到状态转移方程：

f[i+1] = max(f[i] + nums[i+1], max{j=0->i-k+1}(f[j]) + sum(nums[j+1:i+1]))

其中，第一个部分即为不考虑 k 的情况下的子数组最大和，第二个部分是遍历 i 最近的 k-1 个元素的所有子数组的和中的最大值。

最终我们可以得到最大和为 f[n]，其中 n 为数组 nums 的长度。

代码实现（Python）

from typing import List

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        if n < k:
            return 0
        f = [nums[0]] + [0] * (n-1)
        for i in range(1, n):
            f[i] = max(f[i-1] + nums[i], max(f[j] + sum(nums[j+1:i+1]) for j in range(max(k-2, i-k+1), i)))
        return max(f[k-1:])

性能分析

以上算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为 nums 的长度。我们需要遍历数组一遍，并且每次遍历都需要遍历 k 个元素求和取最大值。空间复杂度为 O(n)，即为 f 数组的长度。