最大和子序列

最大和子序列问题是一类常见的算法问题，即在一个序列中找到一段连续的子序列，使其元素之和最大。这种问题的解决思路主要是动态规划。

解题思路

最大和子序列问题可以用在线性时间复杂度内解决，我们先定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大和子序列。那么，对于一个位置 i，其对应的最大和子序列就是 dp[i]。

接着，我们考虑状态转移方程。要求以第 i 个元素结尾的最大和子序列，我们需要考虑前面子序列的情况。因此，可以将 dp[i] 分为两种情况：

1. 如果前一个元素对应的最大和子序列为正数（即 dp[i-1]>0），那么第 i 个元素加入到前一个元素对应的子序列中，其对应的子序列和为 dp[i] = dp[i-1] + nums[i]。
2. 如果前一个元素对应的最大和子序列为负数（即 dp[i-1]<=0），那么第 i 个元素自成一段子序列，其对应的子序列和为 dp[i] = nums[i]。

综上所述，状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])

实现示例

下面给出 Python 代码实现示例：

def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [0 for _ in range(n)]
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
    return max(dp)

时间复杂度

由于我们只使用了一次循环，时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

我们使用了一个长度为 n 的数组 dp，因此空间复杂度为 $O(n)$。