长度k的最大和子序列

当我们在处理数组时，有时需要找到一个长度为k的子序列，使其所有元素的和最大。这个问题可以通过动态规划算法来解决。

解题思路

定义一个数组 dp 用于记录最大和子序列的信息，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的长度为k的最大和子序列的和。根据这个定义，可以得到下面的递推式:

dp[i] = max(dp[i-k] + sum(nums[i-k+1:i+1]), dp[i-1])

其中，sum(nums[i-k+1:i+1]) 表示从 i-k+1 到 i 的子序列的和。

同时，初始化 dp 数组的前 k 个元素，即：

dp[i] = sum(nums[0:i+1]) if i < k else max(dp[i-1], sum(nums[i-k+1:i+1]))

其中，sum(nums[0:i+1]) 表示数组的前 i+1 个数的和。

最终，dp 数组的最后一个元素就是长度为 k 的最大和子序列的和。

代码实现

def max_sum_subsequence(nums, k):
    dp = [0] * len(nums)
    for i in range(k):
        dp[i] = sum(nums[:i+1])
    for i in range(k, len(nums)):
        dp[i] = max(dp[i-k] + sum(nums[i-k+1:i+1]), dp[i-1])
    return dp[-1]

复杂度分析

时间复杂度：$O(nk)$，其中 n 是数组长度。

空间复杂度：$O(n)$。