长度K的最大偶数和子序列

简介

给定一个长度为n的整数序列，找到长度为k的最大偶数和子序列。即在该子序列中，选择k个元素使其总和最大，且由偶数组成。

本文将介绍两种解题思路：动态规划和贪心算法，并给出相应的Python代码实现。

动态规划

状态设计

假设数组为a，使用dp[i][j]表示前i个元素中选j个偶数的最大和。

状态转移方程

考虑将a[i]加入或不加入子序列中，如果加入，子序列中偶数的数量为j-1；如果不加入，仍为j。因此状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+even(a[i]))

其中even(x)表示x的偶数部分，也就是最大的偶数小于等于x。

初始状态

所有状态初始化为0。

算法实现

def even(x):
    return x // 2 * 2

def max_even_sum(a, k):
    n = len(a)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+even(a[i-1]))
    return dp[n][k]

贪心算法

算法思路

首先将数组a中的所有偶数按从大到小排序，然后依次选取前k个偶数。

算法实现

def max_even_sum(a, k):
    evens = sorted([x for x in a if x % 2 == 0], reverse=True)
    return sum(evens[:k])

参考文献

• 最大偶数和子序列 | Acwing