偶数长度的最大和子数组

给定一个整数数组，找到长度为偶数的子数组，使得这个子数组中所有元素的和最大。

解法

首先我们可以想到枚举所有可能的子数组，但是时间复杂度为 $O(n^2)$，效率太低。我们可以考虑用前缀和优化枚举。

设 $sum[i]$ 表示前 $i$ 个数的和，则子数组 $[l,r]$ 的和可以表示为 $sum[r]-sum[l-1]$。对于所有 $0\leq i \leq n$，我们计算出 $sum[i]$ 的值，然后对于所有 $0 \leq l < r \leq n$，我们计算 $sum[r]-sum[l-1]$ 的最大值即可。时间复杂度为 $O(n^2)$。

我们还可以用哈希表来进一步优化，将上面的枚举改为存储奇数和偶数长度的前缀和，时间复杂度为 $O(n)$。

具体实现看下面的代码片段。

def findMaxSubarray(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    prefix_sum = [0]*(n+1)
    for i in range(1, n+1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1]+nums[i-1]

    # 求出所有的偶数长度的前缀和
    even_sum = {}
    for i in range(n+1):
        if prefix_sum[i] % 2 == 0:
            even_sum[i] = prefix_sum[i]

    # 枚举所有的子数组
    max_subarray_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n+1, 2):
            if j in even_sum:
                max_subarray_sum = max(max_subarray_sum, even_sum[j]-even_sum[i])

    return max_subarray_sum

总结

本题是一道经典的数组问题，通过前缀和的优化可以将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降到 $O(n)$，这是一个非常实用的技巧。同时也可以锻炼我们的细节思维，加深对哈希表的理解。