值相差至少 2 的最大和子序列

简介

在计算机科学中，求解一个序列中最大和的子序列是一个经典的问题。通常，最大和子序列是指在一个序列中取出连续的部分序列，使得这一部分序列的和达到最大。

在这个主题中，我们将关注的是一个特殊的最大和子序列问题，即要求选取的子序列中的相邻元素之间的差至少为2。这意味着选取的子序列中的任意两个相邻元素的值要相差至少为2。

方法一：动态规划

动态规划是解决最大和子序列问题的常用方法之一。对于这个特殊的问题，我们可以使用动态规划来求解。

算法描述：

1. 定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示以元素 nums[i] 结尾的值相差至少 2 的最大和子序列的和。
2. 遍历数组 nums，对于每个元素 nums[i]，计算 dp[i] 的值。
   • 如果 nums[i] 与前一个选取的元素的差不少于 2，则 dp[i] = dp[i-1] + nums[i]。
   • 否则，dp[i] = nums[i]，即重新开始一个新的子序列。
3. 遍历完整个数组后，找到 dp 中的最大值，即为所求的最大和子序列的和。

代码实现：

def max_sum(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]

    for i in range(1, n):
        if nums[i] - nums[i-1] >= 2:
            dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
        else:
            dp[i] = nums[i]

    return max(dp)

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是序列的长度。
• 空间复杂度：O(N)，使用了一个长度为 N 的动态规划数组。

方法二：贪心算法

除了动态规划，我们还可以使用贪心算法来求解这个问题。贪心算法的思想是每次选择当前状态下的最优解，通过这种贪心选择，依次求解出整个问题的最优解。

算法描述：

1. 定义两个变量 prev 和 curr，分别表示当前元素和前一个选取的元素。
2. 定义两个变量 prev_sum 和 curr_sum，分别表示当前元素的子序列和和前一个元素的子序列和。
3. 遍历数组 nums，对于每个元素 nums[i]，更新 curr_sum 和 curr。
   • 如果 nums[i] 与 prev 的差不少于 2，则 curr_sum = prev_sum + nums[i]，curr = nums[i]。
   • 否则， curr_sum 和 curr 重新开始一个新的子序列，即 curr_sum = nums[i]，curr = nums[i]。
   • 更新 prev_sum 和 prev，分别为 curr_sum 和 curr。
4. 遍历完整个数组后， curr_sum 即为所求的最大和子序列的和。

代码实现：

def max_sum(nums):
    prev_sum = curr_sum = nums[0]
    prev = curr = nums[0]

    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] - prev >= 2:
            curr_sum = prev_sum + nums[i]
            curr = nums[i]
        else:
            curr_sum = nums[i]
            curr = nums[i]
        
        prev_sum = curr_sum
        prev = curr

    return curr_sum

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是序列的长度。
• 空间复杂度：O(1)，只需要常数级别的额外空间。

使用示例：

nums = [1, 2, 3, 1, 2, 7]
print(max_sum(nums))
# 输出: 15

以上两种方法都可以求解这个特殊的最大和子序列问题，它们的思路和实现略有不同，但是都能达到相同的效果。通过使用动态规划或贪心算法，我们可以快速解决这个问题，并且在不同的场景下选择合适的方法来优化算法的性能。