至少有 K 个数的最大和子数组

在数组问题中，最大和子数组是一个非常常见和有用的问题。然而，这个问题有多个变体，一个常见的变体是找到至少有 K 个数的最大和子数组。

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 K，找到具有最大和的 K 个连续子数组。如果两个子数组的和相同，则选择长度更长的子数组。

返回所找到的 K 个子数组的最大和。

解法

我们可以通过修改经典的动态规划算法来解决这个问题。具体来说，我们假设 f[i][j] 表示前 i 个元素中选择 j 个子数组的最大可能和。对于每对 i 和 j，我们考虑两种情况：

• 第 i 个元素 nums[i] 不单独作为一个子数组的情况。这种情况下，我们只需要求解前 i-1 个元素中 j 个子数组的最大和，即 f[i-1][j]。
• 第 i 个元素 nums[i] 单独作为一个子数组的情况。这种情况下，我们需要在前 i-1 个元素中选择 j-1 个子数组，使得前 i-1 个元素中 j-1 个子数组的最大和最大，并将第 i 个元素作为新的子数组的唯一元素。因此，我们可以使用前缀和来计算前 i-1 个元素的前缀和，然后在其中选择 j-1 个不重叠的前缀和，并将所有前缀和的和加上 nums[i]，得到 j 个子数组的最大和。

综上所述，我们可以得到递推公式：

f[i][j] = max(f[i-1][j], max{f[p][j-1] + prefix_sum[i-1] - prefix_sum[p]}, 0 <= p < i)

其中 prefix_sum[i] 表示前 i 个元素的和。

最终的答案即为 f[n][K]，其中 n 是数组 nums 的长度。

代码实现

def maxSumOfSubarrays(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    prefix_sum = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + nums[i-1]
    f = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            f[i][j] = f[i-1][j]
            for p in range(i):
                if j-1 > 0 and f[p][j-1] == 0:
                    continue
                f[i][j] = max(f[i][j], f[p][j-1] + prefix_sum[i-1] - prefix_sum[p])
    return f[n][k]

参考链接

• LeetCode 题解
• AcWing 题解