具有至少K个相邻元素的按位与之和的数组的排列

问题描述

给定一个由n个整数组成的数组，现在需要对其进行排列，以满足其任意k个相邻元素的按位与之和大于给定的值a。也就是说，如果对于在排列后的数组中的任意i (1≤i≤n−k+1)，a≤ai&ai+1&...&ai+k−1，则我们将该排列视为有效。

解决思路

我们可以使用二分答案的方法解决这个问题，即二分答案为x时，检查是否能找到一个排列，其任意k个相邻元素的按位与之和大于等于x。我们将问题转化为判断这个排列是否存在。这个问题可以通过确定当前排列的第一个元素来递归地解决。递归时，每次枚举当前可用的所有数字，并将其插入到当前子序列的末尾。我们维护当前子序列中已选择的元素数量，以及相邻元素之间的按位与之和。这个和可以动态地维护，以便我们可以在O(1)时间内计算其值。

算法步骤

我们可以按照以下步骤实现算法：

1. 使用二分查找确定满足条件的最小的可行值。
2. 对第一个元素进行递归，并尝试找到一个排列，其中集合的任意k个元素的AND之和大于等于当前的二分答案（即第一步得到的可行值）。
3. 如果对于当前的第一个元素无法找到任何可行的子排列，则选择下一个数字进行尝试。
4. 一旦找到一个可行子序列并返回TRUE，则终止递归并返回TRUE。

代码实现

// 二分答案函数
bool check(vector<int> a, int x, int k) {
    int cnt = 0, sum = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        if (i + k <= a.size()) {
            if (i == 0) {
                sum = 0;
                for (int j = i; j < i + k; j++)
                    sum &= a[j];
            } else {
                sum &= ~a[i - 1];
                sum &= a[i + k - 1];
            }
            if (sum >= x)
                cnt++;
        }
    }
    return cnt >= k;
}

// 递归函数
bool solve(vector<int>& a, vector<int>& used, int k, int idx, int sum) {
    int n = a.size();
    if (used.size() == n)
        return true;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (used[i])
            continue;
        if (idx != -1 && (idx + k - 1) < i)
            break;
        if (idx == -1 || (idx != -1 && (sum & a[i]) >= a[idx])) {
            used[i] = true;
            if (solve(a, used, k, i, (idx == -1) ? a[i] : (sum & a[i]))) {
                return true;
            }
            used[i] = false;
        }
    }
    return false;
}

int solve(vector<int>& a, int k) {
    int l = 0, r = 1073741823, x = -1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(a, mid, k)) {
            x = mid;
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    vector<int> used(a.size(), false);
    return (x == -1 ? -1 : (solve(a, used, k, -1, 0) ? x : -1));
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlog2w⋅n2)，其中w是元素的位数。递归函数的每次调用仅需O(1)的时间，但在每个递归堆栈中，我们需要枚举O(n)个元素。每次检查答案的复杂度为O(n)：它需要检查n个元素并计算当前和的值。因此，算法的总时间复杂度为O(n^2log2w)。
• 空间复杂度：O(n)，其中n是数组的长度。递归的调用栈深度为O(n)，而每次调用需要维护O(n)个标志位，因此总共需要O(n)个空间。

总结

这个问题可以使用二分答案的解决方法，但需要将其转化为一个可行性问题。我们考虑递归地构建该序列，尝试找到一个排列，使其任何k个相邻元素的 AND 之和大于等于当前二分答案，最后仅仅需要枚举所有可能的元素，就可以找到可行的排列。尽管这个算法的时间复杂度为 O(n^2log2w)，但它比常规方法更加简单和外向。