生成具有特定相邻差异或的排列

介绍

本文介绍如何生成具有相邻差的按位异或为0的排列，即对于排列中的相邻两个数 $a_i$ 和 $a_{i+1}$，有 $a_i \oplus a_{i+1}=0$，其中 $\oplus$ 表示按位异或操作。

这种排列在密码学和编码理论中有许多应用。例如，它可以用于生成具有线性分组密码中的置换特性的S盒。

思路

构造这种特殊的排列，需要注意到一个性质：对于任何非零整数 $n$，都有 $n \oplus n=0$。因此，排列中的每一对相邻的数都必须具有相同的值，而且这个值在整个排列中必须出现偶数次。

具体来说，我们可以将排列 $[1, 2, 3, \cdots, N]$ 分成两个部分：奇数部分和偶数部分。每个奇数部分中的数值相同，每个偶数部分中的数值也相同。这样可以确保排列中的每个相邻的差值的按位异或都为 0。

代码

下面是一个 Python 实现的例子：

def xor_permutation(N: int) -> List[int]:
    # 生成奇数部分
    odd_part = [(i << 1) + 1 for i in range(N // 2)]
    # 生成偶数部分
    even_part = [(i << 1) + 2 for i in range(N // 2)]
    # 合并并返回排列
    return odd_part + even_part

性能

由于只需要对 1 到 N 进行简单的遍历，因此时间复杂度为 $O(N)$。空间复杂度也为 $O(N)$。

结论

本文介绍了如何生成具有相邻差的按位异或为0的排列，以及一个 Python 实现的例子。

这种排列可以通过将 $[1, N]$ 分为奇数和偶数两部分的方法来构造。生成的排列中每一对相邻的数都具有相同的值，且这个值在整个排列中出现偶数次。