索引具有至少K差的相邻元素的最大子序列和

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，找到索引具有至少 k 差的相邻元素的最大子序列和。

示例

输入: nums = [1,2,3,-4,5], k = 2

输出: 8

解释: 子序列 [1,2,3,-4,5] 的和最大，相邻元素之间的距离至少为 2。

解法

这道题可以通过动态规划来解决。首先，我们可以定义 dp[i] 为下标在 i 的最大子序列和。那么，我们需要找到一个下标 j，使得 i-j>=k，并且 dp[j] 能够使得 dp[i] 最大，即 dp[i]=max(dp[i], dp[j]+nums[i])。最终的答案即为 dp[0]。

这个过程可以用一个滑动窗口，即枚举当前的 i，并找到最大的 j，使得 i-j>=k，然后更新 dp[i] 即可。

代码

def maxSubArrayWithKDifference(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    ans = dp[0]
    for i in range(1, n):
        for j in range(max(i-k, 0), i):
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+nums[i])
        ans = max(ans, dp[i])
    return ans

时间复杂度：$O(nk)$。

总结

这道题目跟一般的最大子序列和问题不同的地方在于，两个相邻元素之间的距离必须至少为 k。因此，如果使用一般的动态规划方法，时间复杂度会达到 $O(n^2)$，无法通过本题。我们可以采用滑动窗口的方法来优化动态规划，从而将时间复杂度降至 $O(nk)$，可以通过本题。