最大长度子序列使得子序列中的相邻元素具有公因子

介绍

在算法中，最大长度子序列是一个很常见的问题。但是，当要求子序列中的相邻元素具有公因子时，这个问题变得更加复杂。

考虑一个长度为n的序列a，最大长度子序列要求每个元素都是相邻元素的公因子。换句话说，就是要找到一个子序列b使得b中每个元素都能整除b中后面的元素，且b的长度要最大。

这个问题可以用动态规划的思想来解决，具体实现详见下文。

算法

定义一个数组dp，其中dp[i]表示以a[i]结尾的最大长度子序列。

首先，初始化数组dp，将dp的所有元素都初始化为1，因为任何一个元素本身都可以作为长度为1的子序列。

然后，对于每个元素a[i]，我们遍历之前的所有元素a[j]，如果a[i]能被a[j]整除，则dp[i]的值更新为dp[j]+1，表示以a[i]结尾的最大长度子序列要加上a[j]作为前一个元素。

最后，找出dp中最大的那个数，即为所求的最大长度子序列的长度。

具体实现可参考下方示例代码：

def max_common_divisor_subsequence(a):
    n = len(a)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if a[i] % a[j] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

时间复杂度

算法中嵌套了两重循环，因此时间复杂度为O(n^2)。

总结

最大长度子序列是一个基本的算法问题，而求使子序列中相邻元素具有公因数的最大长度子序列则是在此基础上增加了一定难度。通过动态规划的思想，我们可以较为容易地解决这个问题。