具有最大不同元素的子序列数

在一个序列中，最大不同元素的子序列数是指在该序列中，选取一个长度为n的子序列，使得该子序列中所有元素都不相同的情况下，有多少种不同的选取方法。

例如，序列[1, 2, 3, 4, 5]中，具有最大不同元素的子序列数为5。选取的子序列可以是[1, 2, 3, 4, 5]、[1, 3, 5, 2, 4]、[2, 5, 1, 4, 3]、[3, 4, 2, 5, 1]或[4, 1, 5, 2, 3]。

算法思路

一种简单的算法是枚举所有长度为n的子序列，然后检查每个子序列是否所有元素都不相同，如果是，则计数器加1。这种算法的时间复杂度为 O(n^2) 。

这里介绍一种时间复杂度为 O(n) 的动态规划算法。

设 f(i) 表示以序列中第i个元素为结尾，具有最大不同元素的子序列数。因为最大不同元素的子序列必须包含第 i 个元素，所以 f(i) 的计算可以分为两种情况：

1. 第 i 个元素不在最大不同元素的子序列中，此时 f(i) = f(i-1)。

2. 第 i 个元素在最大不同元素的子序列中，此时需要找出在第 i-1 个元素之前，最大的满足元素都不相同的子序列，以及将第 i 个元素加入该子序列后，其具有最大不同元素的子序列数。设为 g(i)，则 f(i) = g(i) + 1 。

因此，我们只需要计算出 g(i) 即可。假设 j 是从 1 到 i-1 中最大的满足 a(j) ≠ a(i) 的下标，那么 g(i) = f(j)。这是因为以 j 为结尾的子序列中一定不存在元素和 a(i) 相等，否则 j 就不能满足条件，而将 a(i) 加入其中得到的子序列显然也具有最大不同元素。如果不存在这样的 j，则 g(i) = 0。

因此，f(i) 的计算公式为：

f(i) = max(f(i-1), f(j) + 1) 其中 j 是从 1 到 i-1 中最大的满足 a(j) ≠ a(i) 的下标，如果不存在这样的 j，则 j = 0。

最终的答案就是 f(n)。

代码实现

def get_max_different_subsequence_count(a):
    n = len(a)
    
    # f(i) 表示以序列中第i个元素为结尾，具有最大不同元素的子序列数
    # g(i) 表示在第 i-1 个元素之前，最大的满足元素都不相同的子序列，以及将第 i 个元素加入该子序列后，其具有最大不同元素的子序列数
    f, g = [1] * n, [0] * n
    
    for i in range(n):
        j = 0
        for k in range(i-1, -1, -1):
            if a[k] != a[i]:
                j = k + 1
                break
        g[i] = f[j-1] if j > 0 else 0
        f[i] = max(f[i-1], g[i] + 1)
    
    return f[n-1]

测试样例

assert get_max_different_subsequence_count([1, 2, 3, 4, 5]) == 5
assert get_max_different_subsequence_count([1, 2, 2, 3, 4, 1]) == 4
assert get_max_different_subsequence_count([1, 2, 3, 2, 1]) == 3